[05] Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método da Eliminação de Gauss com e sem pivoteamento parcial.
\left\{\begin{aligned} 2 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+x_{4} & =7 \\\ x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-x_{4} & =1 \\\\ 3 x_{1}+2 x_{2}-3 x_{3}-2 x_{4} & =4 \\\\ 4 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}+x_{4} & =12 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear 4\times4 e pede para resolvê-lo pelo método de Eliminação de Gauss, first sem pivoteamento parcial e depois com pivoteamento parcial. Vamos montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares para triangularizar e, em seguida, fazer substituição regressiva.

Passo 2

Eliminação de Gauss sem pivoteamento parcial
A matriz aumentada inicial é
\begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & 1 &\vline & 7 \\\\ 1 & -1 & 2 & -1 &\vline & 1 \\\\ 3 & 2 & -3 & -2 &\vline & 4 \\\\ 4 & 3 & 2 & 1 &\vline & 12 \end{pmatrix}
  1. Pivot em a_{11}=2. Os multiplicadores são
m_{21}=\tfrac{1}{2},\quad m_{31}=\tfrac{3}{2},\quad m_{41}=2.
Aplicando
R_2\leftarrow R_2 - m_{21}R_1,\quad R_3\leftarrow R_3 - m_{31}R_1,\quad R_4\leftarrow R_4 - m_{41}R_1,
obtemos
\begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & 1 &\vline & 7\\\\ 0 & -2 & 2{,}5 & -1{,}5 &\vline & -2{,}5\\\\ 0 & -1 & -1{,}5 & -3{,}5 &\vline & -6{,}5\\\\ 0 & -1 & 4 & -1 &\vline & -2 \end{pmatrix}.
  1. Pivot em a_{22}=-2. Multiplicadores
m_{32}=\tfrac{-1}{-2}=0{,}5,\quad m_{42}=\tfrac{-1}{-2}=0{,}5.
Fazendo
R_3\leftarrow R_3 - m_{32}R_2,\quad R_4\leftarrow R_4 - m_{42}R_2,
resulta
\begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & 1 &\vline & 7\\\\ 0 & -2 & 2{,}5 & -1{,}5 &\vline & -2{,}5\\\\ 0 & 0 & -2{,}75 & -2{,}75 &\vline & -5{,}25\\\\ 0 & 0 & 2{,}75 & -0{,}25 &\vline & -0{,}75 \end{pmatrix}.
  1. Pivot em a_{33}=-2{,}75. Multiplicador
m_{43}=\tfrac{2{,}75}{-2{,}75}=-1.
Fazendo
R_4\leftarrow R_4 - m_{43}R_3 = R_4 + R_3,
chegamos à forma triangular
\begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & 1 &\vline & 7\\\\ 0 & -2 & 2{,}5 & -1{,}5 &\vline & -2{,}5\\\\ 0 & 0 & -2{,}75 & -2{,}75 &\vline & -5{,}25\\\\ 0 & 0 & 0 & -3 &\vline & -6 \end{pmatrix}.

Passo 3

Substituição regressiva sem pivoteamento parcial
  1. Da última equação:
-3\,x_{4} = -6 \quad\Longrightarrow\quad x_{4} = 2.
  1. Terceira equação:
-2{,}75\,x_{3} -2{,}75\cdot 2 = -5{,}25 \quad\Longrightarrow\quad -2{,}75\,x_{3} = 0{,}25 \quad\Longrightarrow\quad x_{3} = -\tfrac{1}{11}.
  1. Segunda equação:
-2\,x_{2} +2{,}5\bigl(-\tfrac{1}{11}\bigr) -1{,}5\cdot 2 = -2{,}5 \quad\Longrightarrow\quad x_{2} = -\tfrac{4}{11}.
  1. Primeira equação:
2\,x_{1} +2\bigl(-\tfrac{4}{11}\bigr) -\bigl(-\tfrac{1}{11}\bigr) +2 = 7 \quad\Longrightarrow\quad x_{1} = \tfrac{31}{11}.

Passo 4

Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial
A matriz aumentada inicial é a mesma, mas no primeiro passo escolhemos o maior valor absoluto na coluna 1: \lvert 4\rvert em a_{41}. Trocamos R_1\leftrightarrow R_4, obtendo
\begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 & 1 &\vline & 12\\\\ 1 & -1 & 2 & -1 &\vline & 1\\\\ 3 & 2 & -3 & -2 &\vline & 4\\\\ 2 & 2 & -1 & 1 &\vline & 7 \end{pmatrix}.
Em seguida aplicamos os mesmos passos de eliminação – só que sempre escolhendo, em cada coluna, o pivô de maior módulo e trocando linhas quando necessário. Após as operações chegamos à forma triangular
\begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 & 1 &\vline &12\\\\ 0 & -\tfrac{7}{4} & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{5}{4} &\vline & -2\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{33}{7} & -\tfrac{18}{7} &\vline & -\tfrac{33}{7}\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 &\vline & 2 \end{pmatrix}.

Passo 5

Substituição regressiva com pivoteamento parcial
  1. Da última linha:
x_{4} = 2.
  1. Terceira linha:
-\tfrac{33}{7}\,x_{3} - \tfrac{18}{7}\cdot 2 = -\tfrac{33}{7} \quad\Longrightarrow\quad x_{3} = -\tfrac{1}{11}.
  1. Segunda linha:
-\tfrac{7}{4}\,x_{2} + \tfrac{3}{2}\bigl(-\tfrac{1}{11}\bigr) - \tfrac{5}{4}\cdot 2 = -2 \quad\Longrightarrow\quad x_{2} = -\tfrac{4}{11}.
  1. Primeira linha:
4\,x_{1} +3\bigl(-\tfrac{4}{11}\bigr) +2\bigl(-\tfrac{1}{11}\bigr) +1\cdot 2 = 12 \quad\Longrightarrow\quad x_{1} = \tfrac{31}{11}.

Resposta

x_{1} = \tfrac{31}{11},\quad x_{2} = -\tfrac{4}{11},\quad x_{3} = -\tfrac{1}{11},\quad x_{4} = 2.

Exercícios relacionados