06 Seja A=\left\{\left.\frac{x}{y} \right\rvert\, x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}\right. e \left.x^{2}+y^{2}-6 x-6 y+12=0\right\}. Determine o maior valor e o menor valor dentre os elementos de A.

Passo 1

O enunciado pede para achar o maior e o menor valor da razão \frac{x}{y} para todos os pares (x,y) que satisfazem
x^{2}+y^{2}-6x-6y+12=0.
O conteúdo é otimização de uma função de duas variáveis restrita a uma curva (círculo). Vamos completar quadrados para identificar o círculo e depois usar a substituição t=\frac{x}{y} para encontrar o intervalo de valores possíveis.

Passo 2

Completo quadrados na equação da curva:
x^{2}-6x + y^{2}-6y +12 = (x-3)^{2}-9 + (y-3)^{2}-9 +12 = (x-3)^{2}+(y-3)^{2}-6 = 0.
Logo, a curva é o círculo de centro C=(3,3) e raio \sqrt{6}:
(x-3)^{2} + (y-3)^{2} = 6.

Passo 3

Queremos os valores de
t = \frac{x}{y}.
Como no círculo não há pontos com y=0 (basta ver que y=0 implicaria (x-3)^2+9=6, impossível), podemos escrever x = t\,y. Substituindo na equação do círculo:
(t\,y)^{2} + y^{2} - 6(t\,y) - 6y +12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}(t^{2}+1) - 6y(t+1) +12 = 0.
Isso é uma equação quadrática em y. Para existir solução real em y, o discriminante deve ser não negativo.

Passo 4

O discriminante dessa quadrática em y é
\Delta = [ -6(t+1) ]^{2} - 4\,(t^{2}+1)\,(12) = 36(t+1)^{2} - 48(t^{2}+1).
Calculamos:
36(t^{2}+2t+1) - 48t^{2} -48 = -12t^{2} +72t -12 = -12\bigl(t^{2}-6t+1\bigr) = -12\bigl((t-3)^{2}-8\bigr) = 96 -12(t-3)^{2}.
Impor \Delta\ge0
96 -12(t-3)^{2} \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (t-3)^{2} \le 8 \quad\Longleftrightarrow\quad -2\sqrt{2} \le t-3 \le 2\sqrt{2}.
Assim
3 - 2\sqrt{2} \,\le\, t \,\le\, 3 + 2\sqrt{2}.

Passo 5

Concluímos que o conjunto A de todos os valores de \frac{x}{y} naquela curva é o intervalo
\bigl[\,3 - 2\sqrt{2},\;3 + 2\sqrt{2}\bigr].

Resposta

Menor valor: 3 - 2\sqrt{2}
Maior valor: 3 + 2\sqrt{2}

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