06 Seja A=\left\{\left.\frac{x}{y} \right\rvert\, x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}\right. e \left.x^{2}+y^{2}-6 x-6 y+12=0\right\}. Determine o maior valor e o menor valor dentre os elementos de A.
Passo 1
O enunciado pede para achar o maior e o menor valor da razão \frac{x}{y} para todos os pares (x,y) que satisfazem
x^{2}+y^{2}-6x-6y+12=0.
O conteúdo é otimização de uma função de duas variáveis restrita a uma curva (círculo). Vamos completar quadrados para identificar o círculo e depois usar a substituição t=\frac{x}{y} para encontrar o intervalo de valores possíveis.
Logo, a curva é o círculo de centro C=(3,3) e raio \sqrt{6}:
(x-3)^{2} + (y-3)^{2} = 6.
Passo 3
Queremos os valores de
t = \frac{x}{y}.
Como no círculo não há pontos com y=0 (basta ver que y=0 implicaria (x-3)^2+9=6, impossível), podemos escrever x = t\,y. Substituindo na equação do círculo: