O5 Prove que a equação
x^{2}+y^{2}+2 x y-m x-m y-m-1=0,
na qual m é um inteiro positivo, tem exatamente m soluções ( x, y ) nos quais x e y são ambos inteiros positivos.

Passo 1

O enunciado pede que, para um inteiro positivo m, mostremos que a equação
x^{2}+y^{2}+2xy - m x - m y - m - 1 = 0
admite exatamente m soluções (x,y) em inteiros positivos.

Passo 2

Repare que
x^{2}+y^{2}+2xy = (x+y)^{2}.
Substituindo na equação original, obtemos
(x+y)^{2} - m(x+y) - (m+1) = 0.

Passo 3

Defina s = x + y. Assim a equação em s fica
s^{2} - m\,s - (m+1) = 0.

Passo 4

Calcule o discriminante:
\Delta = m^{2} + 4(m+1) = (m+2)^{2}.
Logo as raízes são
s = \frac{m \pm (m+2)}{2},
isto é,
s = m+1 \quad\text{ou}\quad s = -1.

Passo 5

Como x e y são positivos, s = x+y também deve ser positivo, então temos
s = m+1.

Passo 6

O número de soluções positivas de
x + y = m+1
é contado simplesmente escolhendo x=1,2,\dots,m e definindo y = m+1 - x. Portanto há exatamente m pares (x,y).

Resposta

Há exatamente m soluções em inteiros positivos.

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