O5 Prove que a equação
na qual
é um inteiro positivo, tem exatamente
soluções (
) nos quais
e
são ambos inteiros positivos.
Passo 1
O enunciado pede que, para um inteiro positivo
, mostremos que a equação
admite exatamente
soluções
em inteiros positivos.
Passo 2
Repare que
Substituindo na equação original, obtemos
Passo 3
Defina
. Assim a equação em
fica
Passo 4
Calcule o discriminante:
Logo as raízes são
isto é,
Passo 5
Como
e
são positivos,
também deve ser positivo, então temos
Passo 6
O número de soluções positivas de
é contado simplesmente escolhendo
e definindo
. Portanto há exatamente
pares
.
Resposta
Há exatamente
soluções em inteiros positivos.