Seja
I=\int_{1}^{2.2} x^{3} e^{x+1} d x
a) Aproximar a integral I, usando a regra de Simpson Repetida sobre 7 pontos (efetuar os cálculos com 4 decimais).
b) Estime o erro máximo cometido.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I = \int_{1}^{2.2} x^{3}e^{x+1}\,dx
usando a regra de Simpson composta com 7 pontos (6 subintervalos) e estimar o erro máximo. O conteúdo envolve a fórmula de Simpson composta e sua cota de erro.

Passo 2

Dividimos o intervalo [1,2.2] em 6 subintervalos de largura
h = \frac{2.2-1}{6} = 0.2.
Os nós são
x_i = 1 + 0.2\,i,\quad i=0,1,\dots,6.
A regra de Simpson composta diz que
\int_{1}^{2.2}f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+4f(x_5)+f(x_6)\Bigr].

Passo 3

Calculamos f(x)=x^3e^{x+1} em cada nó, arredondando para 4 casas decimais: f(1.0)=7.3891, f(1.2)=15.5952, f(1.4)=30.2476, f(1.6)=55.1487, f(1.8)=95.9052, f(2.0)=160.6843, f(2.2)=261.2221.

Passo 4

Substituindo na fórmula de Simpson:
S = \frac{0.2}{3}\bigl[7.3891 + 4(15.5952+55.1487+160.6843) + 2(30.2476+95.9052) + 261.2221\bigr].
Fazendo as somas e multiplicando por 0.2/3, obtém-se
S \approx 96.4420.

Passo 5

Para estimar o erro, derivamos
f(x)=x^3e^{x+1}
quatro vezes e achamos
f^{(4)}(x) = e^{x+1}\bigl(x^3 +12x^2 +36x +24\bigr).

Passo 6

Em [1,2.2] o máximo de f^{(4)} ocorre em x=2.2:
M = f^{(4)}(2.2)\approx 4217.6.
A cota de erro da regra de Simpson é
|E|\le \frac{b-a}{180}\,h^4\,M = \frac{1.2}{180}(0.2)^4\,(4217.6) \approx 0.0450.

Resposta

I\approx96.4420
Erro máximo estimado: \le0.0450.

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