04 Um inteiro N é escolhido aleatoriamente no intervalo 1 \leqslant N \leqslant 2020. Qual é a probabilidade de que o resto da divisão de \mathrm{N}^{16} por 5 seja 1 ?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que um inteiro N, escolhido uniformemente em 1\le N\le2020, satisfaça
N^{16}\bmod5 = 1.
O conteúdo necessário envolve classes de resto módulo 5 e o Teorema de Fermat.

Passo 2

Como 2020\div5=404 é inteiro, cada resto r\in\{0,1,2,3,4\} aparece exatamente 404 vezes entre 1 e 2020. Logo temos distribuição uniforme dos resíduos módulo 5.

Passo 3

Para calcular r^{16}\bmod5 basta notar:
  • Se r\equiv0\pmod5 então r^{16}\equiv0\pmod5.
  • Se \gcd(r,5)=1, pelo Pequeno Teorema de Fermat vale r^{4}\equiv1\pmod5, então
r^{16} = (r^4)^4 \equiv 1^4 \equiv 1 \pmod5.
Portanto os resíduos r=1,2,3,4 geram r^{16}\bmod5=1, enquanto r=0 não.

Passo 4

4 resíduos favoráveis, cada um com 404 ocorrências, totalizando 4\cdot404=1616 casos em 2020. Assim a probabilidade é
\frac{1616}{2020} = \frac{4}{5}.

Resposta

\tfrac{4}{5}

Exercícios relacionados