04 Um inteiro
é escolhido aleatoriamente no intervalo
. Qual é a probabilidade de que o resto da divisão de
por 5 seja 1 ?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que um inteiro
, escolhido uniformemente em
, satisfaça
O conteúdo necessário envolve classes de resto módulo 5 e o Teorema de Fermat.
Passo 2
Como
é inteiro, cada resto
aparece exatamente
vezes entre
e
. Logo temos distribuição uniforme dos resíduos módulo 5.
Passo 3
Para calcular
basta notar:
- Se
então . - Se
, pelo Pequeno Teorema de Fermat vale , então
Portanto os resíduos
geram
, enquanto
não.
Passo 4
Há
resíduos favoráveis, cada um com
ocorrências, totalizando
casos em
. Assim a probabilidade é