08 Duas moedas falsas de mesmo peso estão misturadas com 8 moedas genuínas idênticas. O peso de cada uma das moedas falsas é diferente do peso de cada uma das moedas genuínas. Um par de moedas é selecionado aleatoriamente, sem reposição, das 10 moedas. Um segundo par é selecionado aleatoriamente, sem reposição, das 8 moedas restantes. O peso combinado do primeiro par é igual ao peso combinado do segundo par. Qual é a probabilidade de que todas as 4 moedas selecionadas sejam genuínas?
Passo 1
O enunciado considera 10 moedas, sendo 8 genuínas (peso
) e 2 falsas (peso
). Seleciona-se primeiro um par de moedas sem reposição e depois um segundo par das 8 restantes. Sabendo que o peso combinado dos dois pares é o mesmo, isso implica que cada par tem o mesmo número de moedas falsas. Como há só 2 falsas, os únicos cenários possíveis são:
- Ambos os pares têm 0 moedas falsas (2 genuínas cada).
- Ambos os pares têm 1 moeda falsa e 1 genuína.
Queremos a probabilidade de cair no cenário 1, dado que os pesos dos pares são iguais.
Passo 2
Calcular a probabilidade
de que ambos os pares sejam formados só por genuínas (cenário 1):
O primeiro par ser todo genuíno ocorre com probabilidade
Após tirar 2 genuínas, restam 6 genuínas e 2 falsas. A probabilidade de o segundo par também ser só genuíno é
Logo
Passo 3
Calcular a probabilidade
de que cada par tenha exatamente 1 falsa (cenário 2):
Para o primeiro par com 1 falsa e 1 genuína,
Depois restam 1 falsa e 7 genuínas. A probabilidade de o segundo par também ter 1 falsa e 1 genuína é
Logo
Passo 4
O evento de “pesos iguais” é
(esses cenários são disjuntos), então
Queremos