08 Duas moedas falsas de mesmo peso estão misturadas com 8 moedas genuínas idênticas. O peso de cada uma das moedas falsas é diferente do peso de cada uma das moedas genuínas. Um par de moedas é selecionado aleatoriamente, sem reposição, das 10 moedas. Um segundo par é selecionado aleatoriamente, sem reposição, das 8 moedas restantes. O peso combinado do primeiro par é igual ao peso combinado do segundo par. Qual é a probabilidade de que todas as 4 moedas selecionadas sejam genuínas?

Passo 1

O enunciado considera 10 moedas, sendo 8 genuínas (peso g) e 2 falsas (peso f\neq g). Seleciona-se primeiro um par de moedas sem reposição e depois um segundo par das 8 restantes. Sabendo que o peso combinado dos dois pares é o mesmo, isso implica que cada par tem o mesmo número de moedas falsas. Como há só 2 falsas, os únicos cenários possíveis são:
  1. Ambos os pares têm 0 moedas falsas (2 genuínas cada).
  2. Ambos os pares têm 1 moeda falsa e 1 genuína.
Queremos a probabilidade de cair no cenário 1, dado que os pesos dos pares são iguais.

Passo 2

Calcular a probabilidade P(A) de que ambos os pares sejam formados só por genuínas (cenário 1):
O primeiro par ser todo genuíno ocorre com probabilidade
\frac{\binom{8}{2}}{\binom{10}{2}}
Após tirar 2 genuínas, restam 6 genuínas e 2 falsas. A probabilidade de o segundo par também ser só genuíno é
\frac{\binom{6}{2}}{\binom{8}{2}}.
Logo
P(A) =\frac{\binom{8}{2}}{\binom{10}{2}}\cdot\frac{\binom{6}{2}}{\binom{8}{2}} =\frac{28}{45}\cdot\frac{15}{28} =\frac{15}{45} =\frac{1}{3}.

Passo 3

Calcular a probabilidade P(B) de que cada par tenha exatamente 1 falsa (cenário 2):
Para o primeiro par com 1 falsa e 1 genuína,
\frac{\binom{2}{1}\,\binom{8}{1}}{\binom{10}{2}} =\frac{2\cdot8}{45} =\frac{16}{45}.
Depois restam 1 falsa e 7 genuínas. A probabilidade de o segundo par também ter 1 falsa e 1 genuína é
\frac{\binom{1}{1}\,\binom{7}{1}}{\binom{8}{2}} =\frac{7}{28} =\frac{1}{4}.
Logo
P(B) =\frac{16}{45}\cdot\frac{1}{4} =\frac{4}{45}.

Passo 4

O evento de “pesos iguais” é E=A\cup B (esses cenários são disjuntos), então
P(E)=P(A)+P(B) =\frac{1}{3}+\frac{4}{45} =\frac{15}{45}+\frac{4}{45} =\frac{19}{45}.
Queremos
P\bigl(A\mid E\bigr) =\frac{P(A)}{P(E)} =\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{19}{45}} =\frac{15}{19}.

Resposta

\displaystyle \frac{15}{19}

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