Q2 Um programa de rádio tem um quiz composto por 3 questões de múltipla escolha, cada uma com 3 alternativas. Um participante vence se acertar 2 ou mais questões. O participante responde aleatoriamente a cada questão. Qual é a probabilidade de vencer?

Passo 1

O enunciado descreve um quiz com 3 questões de múltipla escolha, cada uma com 3 alternativas, em que o participante acerta cada questão com probabilidade 1/3 (resposta aleatória). Ele vence se acertar pelo menos 2 questões. O conteúdo usado aqui é a distribuição binomial, que modela o número de sucessos em n tentativas independentes com probabilidade de sucesso p.

Passo 2

Definimos a variável aleatória X como o número de acertos em 3 questões. Então
X\sim \mathrm{Binomial}\bigl(n=3,\;p=\tfrac{1}{3}\bigr),
e a probabilidade de exatamente k acertos é
P(X=k)=\binom{3}{k}\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^{k}\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{3-k}.

Passo 3

Calculamos a probabilidade de obter exatamente 2 acertos:
P(X=2) =\binom{3}{2}\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^{2}\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{1} =3\cdot \tfrac{1}{9}\cdot \tfrac{2}{3} =3\cdot \tfrac{2}{27} =\tfrac{6}{27}.

Passo 4

Calculamos a probabilidade de obter exatamente 3 acertos:
P(X=3) =\binom{3}{3}\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^{3}\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{0} =1\cdot \tfrac{1}{27}\cdot 1 =\tfrac{1}{27}.

Passo 5

Como o participante vence se acertar 2 ou 3 questões, somamos as probabilidades:
P(\text{vitória}) =P(X=2)+P(X=3) =\tfrac{6}{27}+\tfrac{1}{27} =\tfrac{7}{27}.ó

Resposta

\displaystyle \tfrac{7}{27}

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