5 Amélia tem uma moeda que cai com a face cara para cima com probabilidade 1 / 3, e Bia tem uma moeda que cai com a face cara para cima com probabilidade 3/5. Amelia e Bia lançam suas moedas alternadamente até que alguém obtenha cara; a primeira a obter cara vence. Todos os lançamentos de moeda são independentes. Amelia joga primeiro. Qual a probabilidade de Amélia vencer?

Passo 1

O enunciado diz que Amélia e Bia jogam moedas alternadamente até que alguém obtenha cara; Amélia começa. A moeda da Amélia dá cara com probabilidade \tfrac{1}{3} e a da Bia com probabilidade \tfrac{3}{5}. Queremos a probabilidade de Amélia vencer. O conteúdo aqui é somar uma série infinita de probabilidades (geometria de processos de Bernoulli alternados).

Passo 2

Vamos denotar \displaystyle p_A=\tfrac{1}{3} a probabilidade de Amélia obter cara em um lançamento e \displaystyle p_B=\tfrac{3}{5} a probabilidade de Bia obter cara.
A probabilidade de ninguém obter cara num par de lançamentos (Amélia falha e depois Bia falha) é
r = (1-p_A)\,(1-p_B).

Passo 3

O evento “Amélia vence” pode ocorrer na primeira jogada dela, ou na segunda vez que ela jogar, ou na terceira, e assim por diante.
  • Na primeira tentativa de Amélia a probabilidade é p_A.
  • Se ambos falharem (probabilidade r), voltamos à mesma situação inicial, então Amélia pode vencer com probabilidade r\,p_A.
  • Se falharem duas vezes cada (probabilidade r^2), Amélia vence com probabilidade r^2\,p_A.
Portanto a probabilidade total de vitória de Amélia é a soma da série infinita
P(A) = p_A + r\,p_A + r^2\,p_A + \cdots = p_A\sum_{k=0}^{\infty}r^k = \frac{p_A}{1-r}.

Passo 4

Agora basta calcular r e substituir:
r = (1-p_A)\,(1-p_B) = \Bigl(1-\tfrac{1}{3}\Bigr)\Bigl(1-\tfrac{3}{5}\Bigr) = \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{2}{5} = \tfrac{4}{15}.
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P(A) = \frac{p_A}{1-r} = \frac{\tfrac{1}{3}}{1 - \tfrac{4}{15}} = \frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{11}{15}} = \frac{1}{3}\cdot \frac{15}{11} = \frac{5}{11}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{11}

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