5 Amélia tem uma moeda que cai com a face cara para cima com probabilidade
, e Bia tem uma moeda que cai com a face cara para cima com probabilidade 3/5. Amelia e Bia lançam suas moedas alternadamente até que alguém obtenha cara; a primeira a obter cara vence. Todos os lançamentos de moeda são independentes. Amelia joga primeiro. Qual a probabilidade de Amélia vencer?
Passo 1
O enunciado diz que Amélia e Bia jogam moedas alternadamente até que alguém obtenha cara; Amélia começa. A moeda da Amélia dá cara com probabilidade
e a da Bia com probabilidade
. Queremos a probabilidade de Amélia vencer. O conteúdo aqui é somar uma série infinita de probabilidades (geometria de processos de Bernoulli alternados).
Passo 2
Vamos denotar
a probabilidade de Amélia obter cara em um lançamento e
a probabilidade de Bia obter cara.
A probabilidade de ninguém obter cara num par de lançamentos (Amélia falha e depois Bia falha) é
A probabilidade de ninguém obter cara num par de lançamentos (Amélia falha e depois Bia falha) é
Passo 3
O evento “Amélia vence” pode ocorrer na primeira jogada dela, ou na segunda vez que ela jogar, ou na terceira, e assim por diante.
- Na primeira tentativa de Amélia a probabilidade é
. - Se ambos falharem (probabilidade
), voltamos à mesma situação inicial, então Amélia pode vencer com probabilidade . - Se falharem duas vezes cada (probabilidade
), Amélia vence com probabilidade .
Portanto a probabilidade total de vitória de Amélia é a soma da série infinita
Passo 4
Agora basta calcular
e substituir:
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