-3 O número 21!=51090942171709440000 tem mais de 60,000 divisores inteiros positivos. Um deles é escolhido aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que ele seja ímpar?

Passo 1

O enunciado pergunta a probabilidade de um divisor aleatório de 21! ser ímpar. Isso envolve dois ingredientes principais:
  1. fatorar 21! em primos (usar a fórmula de Legendre para encontrar os expoentes),
  2. contar quantos divisores totais e quantos desses divisores não contêm o fator 2 (ou seja, são ímpares).

Passo 2

Vamos encontrar os expoentes dos primos em 21! usando a fórmula de Legendre \displaystyle e_p=\sum_{k=1}^{\infty}\big\lfloor\frac{21}{p^k}\big\rfloor.
Para p=2:
\big\lfloor\tfrac{21}{2}\big\rfloor+ \big\lfloor\tfrac{21}{4}\big\rfloor+ \big\lfloor\tfrac{21}{8}\big\rfloor+ \big\lfloor\tfrac{21}{16}\big\rfloor =10+5+2+1=18.
Analogamente obtém-se \;e_3=9,\;e_5=4,\;e_7=3,\;e_{11}=e_{13}=e_{17}=e_{19}=1.

Passo 3

O número total de divisores de 21! é dado pelo produto dos incrementos dos expoentes:
D=(18+1)\,(9+1)\,(4+1)\,(3+1)\,(1+1)^{4}.
Calculando:
D=19\times10\times5\times4\times2^{4} =19\times10\times5\times4\times16 =60800.

Passo 4

Para um divisor ser ímpar ele não pode usar o fator 2, ou seja, o expoente de 2 deve ser zero. Então o número de divisores ímpares é
D_{\rm ímpares} =1\times(9+1)\times(4+1)\times(3+1)\times(1+1)^{4} =10\times5\times4\times16 =3200.í

Passo 5

A probabilidade buscada é a razão entre divisores ímpares e divisores totais:
\frac{D_{\rm ímpares}}{D} =\frac{3200}{60800} =\frac{1}{19}.í

Resposta

\displaystyle \frac{1}{19}

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