-3 O número
tem mais de 60,000 divisores inteiros positivos. Um deles é escolhido aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que ele seja ímpar?
Passo 1
O enunciado pergunta a probabilidade de um divisor aleatório de
ser ímpar. Isso envolve dois ingredientes principais:
- fatorar
em primos (usar a fórmula de Legendre para encontrar os expoentes), - contar quantos divisores totais e quantos desses divisores não contêm o fator
(ou seja, são ímpares).
Passo 2
Vamos encontrar os expoentes dos primos em
usando a fórmula de Legendre
.
Para :
Para
Analogamente obtém-se
Passo 3
O número total de divisores de
é dado pelo produto dos incrementos dos expoentes:
Calculando:
Passo 4
Para um divisor ser ímpar ele não pode usar o fator
, ou seja, o expoente de
deve ser zero. Então o número de divisores ímpares é
Passo 5
A probabilidade buscada é a razão entre divisores ímpares e divisores totais: