Construa externamente sobre o lado BC do triângulo equilátero BCF um quadrado
. Internamente ao quadrado construa um triângulo equilátero
. Prove que os pontos
são colineares.
Passo 1
Resumo do enunciado e estratégia.
Temos o triângulo equilátero . Sobre o lado
construímos externamente o quadrado
. Dentro desse quadrado, construímos o triângulo equilátero
. Queremos mostrar que
,
e
são colineares.
Conteúdo envolvido: uso de coordenadas no plano complexo e caráter colinearidade via verificação de razão real.
Temos o triângulo equilátero
Conteúdo envolvido: uso de coordenadas no plano complexo e caráter colinearidade via verificação de razão real.
Passo 2
Escolha de coordenadas no plano complexo.
Coloquemos
Coloquemos
Como
é equilátero orientado positivamente,
O quadrado
sobre
“aponta” para baixo (lado externo ao triângulo); rotação de
em torno de
envia
, logo
Do mesmo modo, a rotação de
em torno de
envia
, dando
Passo 3
Coordenada de
pelo triângulo equilátero
no interior do quadrado.
Em torno de , a rotação de
leva
. Assim
Em torno de
Passo 4
Verificação de colinearidade: mostre que
.
Calcule
Calcule
Negligenciando o fator comum
, escreva
Para
ser real basta
E de fato
Logo a razão é real, o que implica que
são colineares.
Resposta
Os pontos
,
e
são colineares.