Construa externamente sobre o lado BC do triângulo equilátero BCF um quadrado A B C D. Internamente ao quadrado construa um triângulo equilátero A B E. Prove que os pontos D, E, F são colineares.

Passo 1

Resumo do enunciado e estratégia.
Temos o triângulo equilátero B C F. Sobre o lado BC construímos externamente o quadrado A B C D. Dentro desse quadrado, construímos o triângulo equilátero A B E. Queremos mostrar que D, E e F são colineares.
Conteúdo envolvido: uso de coordenadas no plano complexo e caráter colinearidade via verificação de razão real.

Passo 2

Escolha de coordenadas no plano complexo.
Coloquemos
B=0,\quad C=1.
Como BCF é equilátero orientado positivamente,
F= e^{i\pi/3}=\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i.
O quadrado A B C D sobre BC “aponta” para baixo (lado externo ao triângulo); rotação de -90^\circ em torno de B envia C\mapsto A, logo
A = 0 + (1-0)\,e^{-\,i\pi/2} = -\,i.
Do mesmo modo, a rotação de -90^\circ em torno de C envia B\mapsto D, dando
D = 1 + (0-1)\,e^{-\,i\pi/2} = 1 - i.

Passo 3

Coordenada de E pelo triângulo equilátero A B E no interior do quadrado.
Em torno de B, a rotação de -60^\circ leva A\mapsto E. Assim
E = A + \bigl(B - A\bigr)\,e^{-\,i\pi/3} = -\,i + \bigl(0-(-i)\bigr)e^{-\,i\pi/3} = -\,i + i\bigl(\tfrac12 - \tfrac{\sqrt3}{2}i\bigr) = \tfrac{\sqrt3}{2} - \tfrac12\,i.

Passo 4

Verificação de colinearidade: mostre que \dfrac{F - E}{D - E}\in\mathbb R.
Calcule
F - E = \Bigl(\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i\Bigr) - \Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}-\tfrac12i\Bigr) = \bigl(\tfrac12-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) + \bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}+\tfrac12\bigr)i,
D - E = \bigl(1 - i\bigr) - \Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}-\tfrac12i\Bigr) = \bigl(1-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) + \bigl(-1+\tfrac12\bigr)i = \tfrac{2-\sqrt3}{2} - \tfrac12\,i.
Negligenciando o fator comum \tfrac12, escreva
F - E \sim \bigl(-( \sqrt3-1 )\bigr) + (\sqrt3+1)\,i, \quad D - E \sim (2-\sqrt3) - 1\,i.
Para \dfrac{F - E}{D - E} ser real basta
(\sqrt3+1)(2-\sqrt3) \;=\; (\sqrt3-1)\,.
E de fato
(\sqrt3+1)(2-\sqrt3) =2\sqrt3+2-3-\sqrt3 =\sqrt3-1.
Logo a razão é real, o que implica que D,E,F são colineares.

Resposta

Os pontos D, E e F são colineares.

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