A função f(x)=x \ln (x)-2 possui uma única raiz no intervalo (2,3). Calcule-a usando - Método da Bisseção com precisão \varepsilon=10^{-1} e usando 4 casas decimais:
Iteração a m b f(a) f(m) f(b) b-a

Passo 1

O enunciado pede a raiz de \,f(x)=x\ln(x)-2 em (2,3) usando o método da bisseção com tolerância \varepsilon=10^{-1}. Para aplicar, precisamos de um intervalo inicial [a,b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos, e então iterar calculando o ponto médio
m=\frac{a+b}{2},
avaliando f(m) e escolhendo o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal até que b-a<\varepsilon.

Passo 2

Calculamos as extremidades iniciais:
f(2)=2\ln(2)-2\approx-0,6138,\quad f(3)=3\ln(3)-2\approx1,2958.
Como f(2)\cdot f(3)<0, tomamos a_1=2, b_1=3.

Passo 3

Iteramos a bisseção, preenchendo tabela com 4 iterações (cada linha mostra a_k,m_k,b_k,f(a_k),f(m_k),f(b_k) e o novo comprimento b_k-a_k):
Iteração a m b f(a) f(m) f(b) b-a
1 2,0000 2,5000 3,0000 -0,6138 0,2907 1,2958 0,5000
2 2,0000 2,2500 2,5000 -0,6138 -0,1754 0,2907 0,2500
3 2,2500 2,3750 2,5000 -0,1754 0,0520 0,2907 0,1250
4 2,2500 2,3125 2,3750 -0,1754 -0,0641 0,0520 0,0625
Após a 4ª iteração b-a=0,0625<0,1, então paramos.

Passo 4

A raiz aproximada é o ponto médio do último intervalo:
x\approx\frac{2,3125+2,3750}{2}=2,34375.
Arredondando a quatro casas decimais, x\approx2,3438.

Resposta

A raiz aproximada de f(x)=x\ln(x)-2 pelo método da bisseção com \varepsilon=10^{-1} é
\boxed{2,3438}.

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