(a) Prove que o triângulo A_{1} B_{1} C_{1} é equilátero.
(b) Prove que cada uma das retas A_{1} B_{1}, B_{1} C_{1} e C_{1} A_{1} é perpendicular a um dos lados do triângulo.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo equilátero ABC de lado AB e escolhe pontos A_{1} sobre AB, B_{1} sobre BC e C_{1} sobre CA tais que
AA_{1}=BB_{1}=CC_{1}=\tfrac13\,AB.
Precisamos mostrar:
A_{1}B_{1}C_{1} é equilátero.
Cada reta A_{1}B_{1}, B_{1}C_{1}, C_{1}A_{1} é perpendicular a um dos lados de ABC.
Conteúdo: geometria analítica (coordenadas), vetores e produto escalar.
Como todos os lados têm o mesmo quadrado, A_{1}B_{1}C_{1} é equilátero de lado \sqrt{\tfrac13}.
Passo 4
Para mostrar perpendicularidade, basta verificar produto escalar zero entre o vetor diretor de cada reta A_{1}B_{1},B_{1}C_{1},C_{1}A_{1} e o vetor de um lado apropriado de ABC. Por exemplo,
vetor de A_{1}B_{1}:
logo A_{1}B_{1}\perp BC. Analogamente calcula-se \overrightarrow{B_{1}C_{1}}\cdot\overrightarrow{AB}=0 e \overrightarrow{C_{1}A_{1}}\cdot\overrightarrow{CA}=0,
mostrando as outras duas perpendicularidades.
Resposta
(a) O triângulo A_{1}B_{1}C_{1} é equilátero.
(b) As retas A_{1}B_{1}, B_{1}C_{1} e C_{1}A_{1} são, respectivamente, perpendiculares aos lados BC, AB e CA de ABC.