7 Considere um triângulo equilátero A B C; escolha sobre os lados A B, B C e A C pontos A_{1}, B_{1}, C_{1} tais que
\overline{\mathrm{AA}_{1}}=\overline{\mathrm{BB}_{1}}=\overline{\mathrm{CC}_{1}}=\frac{1}{3} \overline{\mathrm{AB}} .
(a) Prove que o triângulo A_{1} B_{1} C_{1} é equilátero.
(b) Prove que cada uma das retas A_{1} B_{1}, B_{1} C_{1} e C_{1} A_{1} é perpendicular a um dos lados do triângulo.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo equilátero ABC de lado AB e escolhe pontos A_{1} sobre AB, B_{1} sobre BC e C_{1} sobre CA tais que
AA_{1}=BB_{1}=CC_{1}=\tfrac13\,AB.
Precisamos mostrar:
  1. A_{1}B_{1}C_{1} é equilátero.
  2. Cada reta A_{1}B_{1}, B_{1}C_{1}, C_{1}A_{1} é perpendicular a um dos lados de ABC.
    Conteúdo: geometria analítica (coordenadas), vetores e produto escalar.

Passo 2

Escolhemos coordenadas convenientes:
A=(0,0),\quad B=(1,0),\quad C=\Bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),
de modo que AB=1.
Então
A_{1}=A+\tfrac13\,(B-A)=\Bigl(\tfrac13,0\Bigr),
B_{1}=B+\tfrac13\,(C-B)=\Bigl(1-\tfrac16,\;\tfrac{\sqrt3}{6}\Bigr)=\Bigl(\tfrac56,\;\tfrac{\sqrt3}{6}\Bigr),
C_{1}=C+\tfrac13\,(A-C)=\Bigl(\tfrac12-\tfrac16,\;\tfrac{\sqrt3}{2}-\tfrac{\sqrt3}{6}\Bigr)=\Bigl(\tfrac13,\;\tfrac{\sqrt3}{3}\Bigr).

Passo 3

Para ver que A_{1}B_{1}C_{1} é equilátero, calculamos os comprimentos ao quadrado:
|A_{1}B_{1}|^2=\Bigl(\tfrac56-\tfrac13\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{6}-0\Bigr)^2 =\Bigl(\tfrac12\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{6}\Bigr)^2 =\tfrac14+\tfrac{3}{36} =\tfrac13.
Do mesmo modo
|B_{1}C_{1}|^2=\Bigl(\tfrac13-\tfrac56\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{3}-\tfrac{\sqrt3}{6}\Bigr)^2 =\tfrac14+\tfrac{3}{36} =\tfrac13,
|C_{1}A_{1}|^2=\Bigl(\tfrac13-\tfrac13\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{3}-0\Bigr)^2 =0+\tfrac{3}{9} =\tfrac13.
Como todos os lados têm o mesmo quadrado, A_{1}B_{1}C_{1} é equilátero de lado \sqrt{\tfrac13}.

Passo 4

Para mostrar perpendicularidade, basta verificar produto escalar zero entre o vetor diretor de cada reta A_{1}B_{1},B_{1}C_{1},C_{1}A_{1} e o vetor de um lado apropriado de ABC. Por exemplo,
vetor de A_{1}B_{1}:
\overrightarrow{A_{1}B_{1}}=\Bigl(\tfrac56-\tfrac13,\;\tfrac{\sqrt3}{6}-0\Bigr) =\Bigl(\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt3}{6}\Bigr),
vetor de BC:
\overrightarrow{BC}=\Bigl(\tfrac12-1,\;\tfrac{\sqrt3}{2}-0\Bigr) =\Bigl(-\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr).
Então
\overrightarrow{A_{1}B_{1}}\cdot\overrightarrow{BC} =\tfrac12\cdot\Bigl(-\tfrac12\Bigr) +\tfrac{\sqrt3}{6}\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} =-\tfrac14+\tfrac{3}{12} =-\tfrac14+\tfrac14 =0,
logo A_{1}B_{1}\perp BC. Analogamente calcula-se \overrightarrow{B_{1}C_{1}}\cdot\overrightarrow{AB}=0 e \overrightarrow{C_{1}A_{1}}\cdot\overrightarrow{CA}=0,
mostrando as outras duas perpendicularidades.

Resposta

(a) O triângulo A_{1}B_{1}C_{1} é equilátero.
(b) As retas A_{1}B_{1}, B_{1}C_{1} e C_{1}A_{1} são, respectivamente, perpendiculares aos lados BC, AB e CA de ABC.

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