5 Sejam x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} números reais. Prove que o valor mínimo da função
d(x)=\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(x-x_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(x-x_{n}\right)^{2}
é obtido quando x=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}.

Passo 1

O enunciado dá n números reais x_{1},x_{2},\dots,x_{n} e define a função
d(x)=\sum_{i=1}^{n}\bigl(x-x_{i}\bigr)^{2}.
Queremos mostrar que o valor mínimo de d(x) ocorre em
x=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}.
O conteúdo é otimização de função de uma variável, usando derivada e teste de convexidade.

Passo 2

Calcular a derivada de d(x). Como
d(x)=\sum_{i=1}^{n}(x-x_{i})^{2},
temos
d'(x)=\sum_{i=1}^{n}2(x-x_{i}) =2\sum_{i=1}^{n}(x-x_{i}) =2\Bigl(nx-\sum_{i=1}^{n}x_{i}\Bigr).

Passo 3

Encontrar o ponto crítico resolvendo d'(x)=0:
2\bigl(nx-\sum_{i=1}^{n}x_{i}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad nx=\sum_{i=1}^{n}x_{i} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}.

Passo 4

Verificar que esse ponto é mínimo usando a segunda derivada. Calculamos
d''(x)=\sum_{i=1}^{n}2=2n>0,
logo d é estritamente convexa e o ponto crítico é mínimo absoluto.

Resposta

O valor mínimo de d(x) é obtido quando
x=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}.

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