5 Sejam
números reais. Prove que o valor mínimo da função
é obtido quando
.
Passo 1
O enunciado dá
números reais
e define a função
Queremos mostrar que o valor mínimo de
ocorre em
O conteúdo é otimização de função de uma variável, usando derivada e teste de convexidade.
Passo 2
Calcular a derivada de
. Como
temos
Passo 3
Encontrar o ponto crítico resolvendo
:
Passo 4
Verificar que esse ponto é mínimo usando a segunda derivada. Calculamos
logo
é estritamente convexa e o ponto crítico é mínimo absoluto.
Resposta
O valor mínimo de
é obtido quando