4 Seja f(x)=a x^{2}+b x+c, com a>0. Mostre que
f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)<\frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}

Passo 1

O enunciado define
f(x)=a\,x^{2}+b\,x+c,
com a>0, e pede para mostrar que, para quaisquer x_{1} e x_{2},
f\!\Bigl(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\Bigr) < \frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}.
O conteúdo aqui é a convexidade estrita de uma parábola com coeficiente quadrático positivo. Vamos comparar diretamente os dois lados.

Passo 2

Definimos a diferença
\Delta = \frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2} \;-\; f\!\Bigl(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\Bigr).
Primeiro escrevemos cada termo:
\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2} = \frac{a\bigl(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\bigr) \;+\; b(x_{1}+x_{2}) \;+\; 2c}{2},
f\!\Bigl(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\Bigr) = a\Bigl(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\Bigr)^{2} + b\Bigl(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\Bigr) + c.

Passo 3

Agora subtraímos e simplificamos:
\Delta = \frac{a(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}) + b(x_{1}+x_{2}) + 2c}{2} - \Bigl[a\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}}{4} + b\frac{x_{1}+x_{2}}{2} + c\Bigr].
Os termos em b e c cancelam, sobrando
\Delta = \frac{a}{2}\bigl(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\bigr) - \frac{a}{4}(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}) = \frac{a}{4}\bigl(2x_{1}^{2}+2x_{2}^{2} - x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}-x_{2}^{2}\bigr) = \frac{a}{4}(x_{1}-x_{2})^{2}.

Passo 4

Como a>0 e (x_{1}-x_{2})^{2}\ge0, temos
\Delta = \frac{a}{4}(x_{1}-x_{2})^{2}\ge0,
com igualdade só se x_{1}=x_{2}. Para x_{1}\neq x_{2}, \Delta>0, ou seja
\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2} > f\!\Bigl(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\Bigr),
o que é exatamente a desigualdade desejada.

Resposta

f\!\Bigl(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\Bigr) < \frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}.

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