4 Seja
, com
. Mostre que
Passo 1
O enunciado define
com
, e pede para mostrar que, para quaisquer
e
,
O conteúdo aqui é a convexidade estrita de uma parábola com coeficiente quadrático positivo. Vamos comparar diretamente os dois lados.
Passo 2
Definimos a diferença
Primeiro escrevemos cada termo:
Passo 3
Agora subtraímos e simplificamos:
Os termos em
e
cancelam, sobrando
Passo 4
Como
e
, temos
com igualdade só se
. Para
,
, ou seja
o que é exatamente a desigualdade desejada.