O7 Determine as raízes reais da equação x^{6}-\left(a^{2}+1\right) x^{2}+a=0, onde a é um parâmetro real positivo.

Passo 1

O enunciado pede as raízes reais da equação
x^{6} - \bigl(a^{2}+1\bigr)\,x^{2} + a = 0,
onde a>0. O conteúdo envolve reconhecimento de que é um polinômio em x^{2}. Fazemos a substituição
y = x^{2},\quad y\ge0,
obtendo a equação cúbica
y^{3} - \bigl(a^{2}+1\bigr)\,y + a = 0.

Passo 2

Notamos que y=a é raiz aparente, pois
a^{3} - \bigl(a^{2}+1\bigr)a + a = a^{3} - a^{3} - a + a = 0.
Logo dividimos o polinômio por y - a para fatorar:
y^{3} - \bigl(a^{2}+1\bigr)y + a = (y - a)\bigl(y^{2} + a\,y - 1\bigr).

Passo 3

Agora resolvemos a quadrática
y^{2} + a\,y - 1 = 0
pelas fórmulas de Bhaskara, obtendo
y = \frac{-a \pm \sqrt{a^{2}+4}}{2}.
Isso gera duas raízes: \displaystyle y_{+} = \tfrac{-a + \sqrt{a^{2}+4}}{2}>0
e \displaystyle y_{-} = \tfrac{-a - \sqrt{a^{2}+4}}{2}<0.

Passo 4

Das três raízes em y y=a, y=y_{+} e y=y_{-} — somente y=a e y=y_{+} são não negativas. Voltando a x, temos
x^{2} = a \quad\Longrightarrow\quad x = \pm\sqrt{a},
x^{2} = \frac{-a + \sqrt{a^{2}+4}}{2} \quad\Longrightarrow\quad x = \pm\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+4}-a}{2}}.

Passo 5

Portanto, para todo a>0 as raízes reais são
x = \pm \sqrt{a}, \qquad x = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+4}-a}{2}}.
Repare que, quando a=1/\sqrt{2}, as duas raízes positivas em y coincidem, o que reduz o número de raízes distintas em x.

Resposta

As raízes reais da equação são
x = \pm \sqrt{a} \quad\text{e}\quad x = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+4}-a}{2}}.

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