09 Seja
um número inteiro. Se
e
são números reais, prove que
, ocorrendo a igualdade se e somente se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro
e para quaisquer reais positivos
, vale
com igualdade se e somente se
.
O conteúdo que vamos usar é a desigualdade entre média aritmética e média geométrica (AM–GM) aplicada a termos positivos.
O conteúdo que vamos usar é a desigualdade entre média aritmética e média geométrica (AM–GM) aplicada a
Passo 2
A AM–GM afirma que, para quaisquer
números positivos
,
com igualdade exatamente quando
.
Passo 3
Aplicamos essa desigualdade aos
termos sendo
deles iguais a
e um termo igual a
. Assim,
Multiplicando ambos os lados por
obtemos exatamente
Passo 4
Para a condição de igualdade, olhamos para a AM–GM: ela é igualitária se e somente se todos os termos usados forem iguais, ou seja,
Como
e
, isso implica
.
Resposta
com igualdade se, e somente se,
.