09 Seja n \geqslant 1 um número inteiro. Se a>0 e b>0 são números reais, prove que (n-1) a^{n}+b^{n} \geqslant n a^{n-1} b, ocorrendo a igualdade se e somente se a=b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n\ge1 e para quaisquer reais positivos a,b, vale
(n-1)a^n + b^n \;\ge\; n\,a^{n-1}b,
com igualdade se e somente se a=b.
O conteúdo que vamos usar é a desigualdade entre média aritmética e média geométrica (AM–GM) aplicada a n termos positivos.

Passo 2

A AM–GM afirma que, para quaisquer n números positivos x_1,\dots,x_n,
\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \;\ge\; \bigl(x_1 x_2 \cdots x_n\bigr)^{1/n},
com igualdade exatamente quando x_1=x_2=\cdots=x_n.

Passo 3

Aplicamos essa desigualdade aos n termos sendo n-1 deles iguais a a^n e um termo igual a b^n. Assim,
\frac{(n-1)\,a^n + b^n}{n} \;\ge\; \bigl((a^n)^{\,n-1}\,(b^n)\bigr)^{1/n} = \bigl(a^{n(n-1)}\,b^n\bigr)^{1/n} = a^{n-1}\,b.
Multiplicando ambos os lados por n obtemos exatamente
(n-1)a^n + b^n \;\ge\; n\,a^{n-1}b.

Passo 4

Para a condição de igualdade, olhamos para a AM–GM: ela é igualitária se e somente se todos os termos usados forem iguais, ou seja,
a^n = b^n.
Como a>0 e b>0, isso implica a=b.

Resposta

(n-1)a^n + b^n \;\ge\; n\,a^{n-1}b,
com igualdade se, e somente se, a=b.

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