07 Um palíndromo entre 1000 e 10.000 é escolhido aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que ele seja divisível por 7 ?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de um palíndromo de quatro dígitos (entre 1000 e 10000) ser divisível por 7. Um palíndromo de quatro dígitos tem a forma ABBA. Vamos contar quantos desses números existem no total e quantos são divisíveis por 7.

Passo 2

O total de palíndromos de quatro dígitos é dado por
A\in\{1,\dots,9\},\quad B\in\{0,\dots,9\}
Portanto, há
9\times 10 = 90
palíndromos.

Passo 3

Escrevemos o número genérico ABBA como
ABBA = 1000A + 100B + 10B + A = 1001A + 110B = 11\,(91A + 10B).
Para ser divisível por 7, é necessário
91A + 10B \equiv 0 \pmod{7}.
Como 91A \equiv 0\pmod{7}, resta
10B \equiv 0\pmod{7} \quad\Longleftrightarrow\quad 3B \equiv 0\pmod{7} \quad\Longleftrightarrow\quad B \equiv 0\pmod{7}.
Logo, B só pode ser 0 ou 7.

Passo 4

Os casos favoráveis são todos os pares (A,B) com
A\in\{1,\dots,9\}\quad(9\text{ escolhas}) \quad\text{e}\quad B\in\{0,7\}\quad(2\text{ escolhas}),
totalizando
9\times 2 = 18
palíndromos divisíveis por 7.

Passo 5

A probabilidade buscada é
\frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos totais}} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}.á

Resposta

A probabilidade é \tfrac{1}{5}.

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