Dizemos que dois polinômios
e
são tangentes para
quando a diferença
é divisível por
(a) Mostre que
e
são tangentes para
.
(b) Seja
em que
e
. Encontre o polinômio de grau 1 que é tangente a
para $X=0.
(a) Mostre que
(b) Seja
Passo 1
O enunciado define que dois polinômios
e
são tangentes em
se a diferença
for divisível por
. Vamos usar a consequência disso:
divisível por
é equivalente a
No item (a) mostramos esse fato para
No item (b) aplicamos a mesma ideia para um polinômio geral em
.
Passo 2
Seja
. Como
se e só se
e
, basta garantir que
Em seguida a diferença terá raiz dupla em
.
Passo 3
No caso quadrático
temos
Para satisfazer
e
, escolhemos
que simplifica para
Passo 4
Agora calculamos
Como
, concluímos que é de fato divisível por
. Isso mostra (a).
Passo 5
Para o polinômio geral
queremos o polinômio de grau 1, digamos
, tal que
e
sejam tangentes em
. Pela caracterização usaremos
Passo 6
Temos
Logo o polinômio buscado é
Resposta
(a) Foi mostrado que
logo são tangentes em
.
(b) O polinômio de grau 1 tangente a em
é
(b) O polinômio de grau 1 tangente a