Dizemos que dois polinômios p(X) e q(X) são tangentes para X=r quando a diferença P(X)-q(X) é divisível por (X-r)^{2}
(a) Mostre que \mathrm{P}(\mathrm{X})=a \mathrm{X}^{2}+b \mathrm{X}+c e \mathrm{q}(\mathrm{X})=(2 a r+b) \mathrm{X}+\left(c-a r^{2}\right) são tangentes para \mathrm{X}=r.
(b) Seja p(X)=a_{n} X^{n}+\cdots+a_{2} X^{2}+a_{1} X+a_{0} em que n \geqslant 2 e a_{1} \neq 0. Encontre o polinômio de grau 1 que é tangente a p(X) para $X=0.

Passo 1

O enunciado define que dois polinômios p(X) e q(X) são tangentes em X=r se a diferença
A(X)=p(X)-q(X)
for divisível por (X-r)^2. Vamos usar a consequência disso: A(X) divisível por (X-r)^2 é equivalente a
A(r)=0 \quad\text{e}\quad A'(r)=0.
No item (a) mostramos esse fato para
p(X)=aX^2+bX+c \quad\text{e}\quad q(X)=(2ar+b)X+(c-ar^2).
No item (b) aplicamos a mesma ideia para um polinômio geral em X=0.

Passo 2

Seja A(X)=p(X)-q(X). Como
(X-r)^2\mid A(X)
se e só se A(r)=0 e A'(r)=0, basta garantir que
q(r)=p(r) \quad\text{e}\quad q'(r)=p'(r).
Em seguida a diferença terá raiz dupla em X=r.

Passo 3

No caso quadrático p(X)=aX^2+bX+c temos
p(r)=ar^2+br+c, \qquad p'(X)=2aX+b \;\Longrightarrow\; p'(r)=2ar+b.
Para satisfazer q(r)=p(r) e q'(r)=p'(r), escolhemos
q(X)=p'(r)\,X+\bigl(p(r)-rp'(r)\bigr) =(2ar+b)\,X+\bigl(ar^2+br+c - r(2ar+b)\bigr),
que simplifica para
q(X)=(2ar+b)\,X+(c-ar^2).

Passo 4

Agora calculamos
p(X)-q(X) =aX^2+bX+c -\bigl((2ar+b)X+(c-ar^2)\bigr) =aX^2 -2arX + ar^2 =a\,(X^2-2rX+r^2) =a\,(X-r)^2.
Como p(X)-q(X)=a\,(X-r)^2, concluímos que é de fato divisível por (X-r)^2. Isso mostra (a).

Passo 5

Para o polinômio geral
p(X)=a_nX^n+\cdots+a_2X^2+a_1X+a_0
queremos o polinômio de grau 1, digamos q(X)=\alpha X+\beta, tal que p(X) e q(X) sejam tangentes em X=0. Pela caracterização usaremos
q(0)=p(0), \qquad q'(0)=p'(0).

Passo 6

Temos
p(0)=a_0, \qquad p'(X)=n\,a_nX^{\,n-1}+\cdots+2a_2X+a_1 \;\Longrightarrow\; p'(0)=a_1.
Logo o polinômio buscado é
q(X)=p'(0)\,X + p(0) =a_1\,X + a_0.

Resposta

(a) Foi mostrado que
p(X)-q(X)=a\,(X-r)^2,
logo são tangentes em X=r.
(b) O polinômio de grau 1 tangente a p(X) em X=0 é
q(X)=a_{1}\,X + a_{0}.

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