Calcule o resto da divisão do polinômio x+x^{3}+x^{9}+x^{27}+x^{81}+x^{243}
(a) \operatorname{por} x-1
(b) \operatorname{por} x^{2}-1.

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão do polinômio
P(x)=x+x^{3}+x^{9}+x^{27}+x^{81}+x^{243}
por (a); x-1 e por (b); x^{2}-1. Vamos usar o Teorema do Resto, que diz que o resto da divisão por x-r é P(r), e, no caso de divisor de grau 2, que o resto é um polinômio de grau menor que 2.

Passo 2

Para (a) dividindo por x-1, a raiz é x=1, então o resto é
P(1)=1+1+1+1+1+1=6.

Passo 3

Para (b) dividindo por x^{2}-1, qualquer resto R(x) tem grau <2, ou seja,
R(x)=ax+b.
As raízes de x^{2}-1 são x=1 e x=-1. Logo, devemos ter
R(1)=P(1),\quad R(-1)=P(-1).
Já sabemos P(1)=6. Calculando
P(-1)=(-1)+(-1)^{3}+(-1)^{9}+(-1)^{27}+(-1)^{81}+(-1)^{243}=-1-1-1-1-1-1=-6.

Passo 4

Impondo as igualdades:
\begin{cases} R(1)=a\cdot1+b=6,\\\ R(-1)=a\cdot(-1)+b=-6, \end{cases}
temos
a+b=6, \quad -a+b=-6.
Somando as duas equações fica 2b=0, logo b=0. Substituindo em a+b=6 a=6. Assim
R(x)=6x.

Resposta

(a) 6
(b) 6x

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