\bigcirc 10 Determine o valor máximo da função f(x)=x\left(1-x^{3}\right) para 0 \leqslant x \leqslant 1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor máximo de
f(x)=x\bigl(1 - x^{3}\bigr)
no intervalo [0,1]. Como f é contínua em um intervalo fechado, o máximo ocorre ou em um ponto crítico (onde f'(x)=0) ou nas extremidades x=0 e x=1. Vamos usar derivadas para achar esse ponto crítico.

Passo 2

Reescrevendo
f(x)=x - x^{4}
e calculando a derivada, temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x - x^{4}\bigr)=1 - 4x^{3}.

Passo 3

Para encontrar o ponto crítico, resolvemos
f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad 1 - 4x^{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{3}=\frac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}.
Esse valor está de fato em [0,1].

Passo 4

Agora avaliamos f em x=0, x=1 e x=\sqrt[3]{\tfrac{1}{4}}:
f(0)=0\cdot(1-0)=0,
f(1)=1\cdot(1-1)=0,
f\Bigl(\sqrt[3]{\tfrac{1}{4}}\Bigr) =\sqrt[3]{\tfrac{1}{4}}\Bigl(1 - \tfrac{1}{4}\Bigr) =\sqrt[3]{\tfrac{1}{4}}\cdot \tfrac{3}{4} =\frac{3}{4}\sqrt[3]{\frac{1}{4}}.

Passo 5

Comparando os valores, o maior é
f\Bigl(\sqrt[3]{\tfrac{1}{4}}\Bigr) =\frac{3}{4}\sqrt[3]{\frac{1}{4}}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}\sqrt[3]{\frac{1}{4}}.

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