• 11 Seja \alpha>0 um número real positivo. Considere a sequência a_{n} cujo n-ésimo termo é dado por
a_{n}=\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^{n}
Prove que a_{n}<a_{n+1} para todo inteiro positivo n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro positivo n e todo real \alpha>0, a sequência
a_{n}=\Bigl(1+\frac{\alpha}{n}\Bigr)^{n}
é estritamente crescente, ou seja,
a_{n}<a_{n+1}.
O conteúdo principal aqui é estudar a monotonicidade de uma função real e depois aplicar a conclusão ao caso discreto n,n+1.

Passo 2

Definimos a função real
f(x)=x\ln\Bigl(1+\frac{\alpha}{x}\Bigr),
válida para todo x>0. Note que, para x=n\in\mathbb{N},
a_{n}=\Bigl(1+\frac{\alpha}{n}\Bigr)^{n} \quad\Longrightarrow\quad \ln a_{n}=n\ln\Bigl(1+\frac{\alpha}{n}\Bigr)=f(n).
Assim, mostrar a_{n}<a_{n+1} equivale a mostrar f(n)<f(n+1).

Passo 3

Calculamos a derivada de f(x). Escrevendo y=\alpha/x, temos
f(x)=x\ln(1+y), \quad y=\frac{\alpha}{x}.
Logo, por derivação,
f'(x) =\ln(1+y) + x\cdot\frac{1}{1+y}\cdot\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{\alpha}{x}\Bigr) =\ln(1+y) - \frac{y}{1+y}.
Substituímos de volta y=\alpha/x>0:
f'(x)=\ln\!\Bigl(1+\frac{\alpha}{x}\Bigr) - \frac{\frac{\alpha}{x}}{1+\frac{\alpha}{x}}.

Passo 4

Para mostrar f'(x)>0, analisamos a função de variável y>0 g(y)=\ln(1+y)-\frac{y}{1+y}.
Calculemos sua derivada:
g'(y) =\frac{1}{1+y} -\frac{(1+y)-y}{(1+y)^{2}} =\frac{1}{1+y} -\frac{1}{(1+y)^{2}} =\frac{y}{(1+y)^{2}} >0.
Como g'(y)>0 para todo y>0, g é estritamente crescente. E, notando que g(0)=0, conclui-se
g(y)>0 \quad\text{para todo }y>0.
Em particular, com y=\alpha/x>0, segue f'(x)=g(y)>0.

Passo 5

Como f'(x)>0 para todo x>0, a função f é estritamente crescente. Logo, para todo inteiro positivo n,
f(n)<f(n+1) \quad\Longrightarrow\quad \ln a_{n}<\ln a_{n+1} \quad\Longrightarrow\quad a_{n}<a_{n+1}.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N} e todo \alpha>0, tem-se
a_{n}=\Bigl(1+\frac{\alpha}{n}\Bigr)^{n} \;<\; \Bigl(1+\frac{\alpha}{n+1}\Bigr)^{n+1} =a_{n+1}.

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