- 11 Seja
um número real positivo. Considere a sequência
cujo n-ésimo termo é dado por
Prove que
para todo inteiro positivo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro positivo
e todo real
, a sequência
é estritamente crescente, ou seja,
O conteúdo principal aqui é estudar a monotonicidade de uma função real e depois aplicar a conclusão ao caso discreto
.
Passo 2
Definimos a função real
válida para todo
. Note que, para
,
Assim, mostrar
equivale a mostrar
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
. Escrevendo
, temos
Logo, por derivação,
Substituímos de volta
:
Passo 4
Para mostrar
, analisamos a função de variável
Calculemos sua derivada:
Como
para todo
,
é estritamente crescente. E, notando que
, conclui-se
Em particular, com
, segue
.
Passo 5
Como
para todo
, a função
é estritamente crescente. Logo, para todo inteiro positivo
,
Resposta
Para todo
e todo
, tem-se