[1] Considere a função, f(x)=\sin (x) no intervalo [0, \pi].
(a) Use a regra de Simpsom com repetição, n=4, ou seja, com quatro subintervalos, para integrar a função.
(b) Use a regra do Trapézio com repetição, n=4, para integrar a função.
(c) Compare os resultados avaliando o erro cometido e determine os valores de h (sendo h o tamanho de cada subintervalo), para a regra do Trapézio e para a regra de Simpson, para que se possa avaliar as integrais com erro inferior a 10^{-4} ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{\pi}\sin(x)\,dx
usando a regra composta de Simpson com n=4 e a regra composta do trapézio com n=4, depois comparar os erros absolutos e determinar o passo h necessário em cada método para que o erro fique abaixo de 10^{-4}. O conteúdo envolve fórmulas das regras compostas e seus limites de erro.

Passo 2

Calculamos primeiro o valor exato da integral:
\int_{0}^{\pi}\sin(x)\,dx = \bigl[-\cos(x)\bigr]_{0}^{\pi} = \bigl(-(-1)\bigr)-\bigl(-1\bigr) = 2.

Passo 3

Regra composta de Simpson com n=4.
O passo é
h=\frac{\pi-0}{4}=\frac{\pi}{4}.
Os nós e os valores de f(x)=\sin(x) são
x_0=0,\;f_0=0;\quad x_1=\tfrac{\pi}{4},\;f_1=\tfrac{\sqrt{2}}{2};\quad x_2=\tfrac{\pi}{2},\;f_2=1;
x_3=\tfrac{3\pi}{4},\;f_3=\tfrac{\sqrt{2}}{2};\quad x_4=\pi,\;f_4=0.
A fórmula é
S=\frac{h}{3}\Bigl(f_0+4f_1+2f_2+4f_3+f_4\Bigr) =\frac{\pi/4}{3}\bigl(0+4\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2} +2\cdot1+4\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}+0\bigr) =\frac{\pi}{12}(4\sqrt{2}+2) =\frac{\pi(2\sqrt{2}+1)}{6} \approx 2,00456.

Passo 4

Regra composta do trapézio com n=4.
O passo é o mesmo h=\pi/4. A fórmula é
T=\frac{h}{2}\Bigl(f_0+2(f_1+f_2+f_3)+f_4\Bigr) =\frac{\pi/4}{2}\bigl(0+2(\tfrac{\sqrt{2}}{2}+1+\tfrac{\sqrt{2}}{2})+0\bigr) =\frac{\pi}{8}\,2\bigl(\sqrt{2}+1\bigr) =\frac{4,8284\,\pi}{8} \approx 1,8955.

Passo 5

Erro absoluto comparado ao valor exato 2:
|E_S|=|2,00456-2|\approx0,00456, \quad |E_T|=|1,8955-2|\approx0,1045.

Passo 6

Usamos os limites de erro teóricos:
Para o trapézio, tem-se
\max|f''(x)|=1 e
|E_T|\le\frac{b-a}{12}h^2 =\frac{\pi}{12}h^2 \le10^{-4} \quad\Longrightarrow\quad h\le\sqrt{\frac{12\cdot10^{-4}}{\pi}} \approx0,0195.
Para Simpson, tem-se
\max|f^{(4)}(x)|=1 e
|E_S|\le\frac{b-a}{180}h^4 =\frac{\pi}{180}h^4 \le10^{-4} \quad\Longrightarrow\quad h\le\Bigl(\frac{180\cdot10^{-4}}{\pi}\Bigr)^{1/4} \approx0,275.

Resposta

(a) S\approx2,00456
(b) T\approx1,8955
(c) Para erro <10^{-4}:
\;h_{\text{Trapézio}}\le0,0195é,
\;h_{\text{Simpson}}\le0,275.

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