[3] Para quais polinômios a regra dos Trapézios e a regra de Simpson são exatas? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta para quais polinômios a regra dos Trapézios e a regra de Simpson são exatas. Este é um problema de grau de precisão de fórmulas de Newton–Cotes: vamos usar as expressões das fórmulas e seus termos de erro para determinar até que grau de polinômio cada uma integra sem erro.

Passo 2

A regra dos Trapézios aproxima
\int_{a}^{b}f(x)\,dx\approx \frac{b-a}{2}\bigl[f(a)+f(b)\bigr].
O termo de erro é dado por
E_{T} = -\,\frac{(b-a)^{3}}{12}\,f''(\xi) \quad\text{para algum }\xi\in(a,b).
Se f é polinômio de grau \le1, então f''(x)=0 para todo x e E_{T}=0. Logo, a regra dos Trapézios é exata para todos os polinômios de grau no máximo 1.

Passo 3

A regra de Simpson aproxima
\int_{a}^{b}f(x)\,dx\approx \frac{b-a}{6}\bigl[f(a)+4f\bigl(\tfrac{a+b}{2}\bigr)+f(b)\bigr].
O termo de erro é
E_{S} = -\,\frac{(b-a)^{5}}{2880}\,f^{(4)}(\xi) \quad\text{para algum }\xi\in(a,b).
Se f é polinômio de grau \le3, então f^{(4)}(x)=0 em todo lugar e E_{S}=0. Logo, a regra de Simpson é exata para todos os polinômios de grau no máximo 3.

Resposta

A regra dos Trapézios é exata para polinômios de grau \le1.
A regra de Simpson é exata para polinômios de grau \le3.

Exercícios relacionados