[3] Para quais polinômios a regra dos Trapézios e a regra de Simpson são exatas? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta para quais polinômios a regra dos Trapézios e a regra de Simpson são exatas. Este é um problema de grau de precisão de fórmulas de Newton–Cotes: vamos usar as expressões das fórmulas e seus termos de erro para determinar até que grau de polinômio cada uma integra sem erro.
Passo 2
A regra dos Trapézios aproxima
O termo de erro é dado por
Se
é polinômio de grau
, então
para todo
e
. Logo, a regra dos Trapézios é exata para todos os polinômios de grau no máximo 1.
Passo 3
A regra de Simpson aproxima
O termo de erro é
Se
é polinômio de grau
, então
em todo lugar e
. Logo, a regra de Simpson é exata para todos os polinômios de grau no máximo 3.
Resposta
A regra dos Trapézios é exata para polinômios de grau
.
A regra de Simpson é exata para polinômios de grau .
A regra de Simpson é exata para polinômios de grau