[2] Obtenha uma fórmula de integração baseada na fórmula de Simpson para a integração de funções com duas variáveis, ou seja,
\iint_{R} f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede uma regra de quadratura para aproximar
\iint_{R} f(x,y)\,dx\,dy
usando a ideia da regra de Simpson. Vamos supor que R seja o retângulo
R = [a,b]\times[c,d].
O que precisamos é da regra de Simpson composta em y para cada x fixo e depois aplicar Simpson composta em x.

Passo 2

Dividimos o intervalo [a,b] em m subintervalos iguais (com m par) e [c,d] em n subintervalos iguais (com n par). Definimos
h_x = \frac{b-a}{m}, \qquad h_y = \frac{d-c}{n},
e os nós
x_i = a + i\,h_x,\quad i=0,1,\dots,m, \qquad y_j = c + j\,h_y,\quad j=0,1,\dots,n.

Passo 3

Para cada i fixo, aproximamos a integral interna em y usando Simpson composta:
\int_{c}^{d} f(x_i,y)\,dy \approx \frac{h_y}{3}\Bigl[f(x_i,y_0) +4\sum_{\substack{j=1\j\text{ ímpar}}}^{n-1}f(x_i,y_j) +2\sum_{\substack{j=2\j\text{ par}}}^{n-2}f(x_i,y_j) +f(x_i,y_n)\Bigr].
Chamemos esse resultado de G_i.

Passo 4

Agora aproximamos a integral externa em x sobre os valores G_i também por Simpson composta:
\int_{a}^{b} G(x)\,dx \approx \frac{h_x}{3}\Bigl[G_0 +4\sum_{\substack{i=1\i\text{ ímpar}}}^{m-1}G_i +2\sum_{\substack{i=2\i\text{ par}}}^{m-2}G_i +G_m\Bigr].
Substituindo G_i pela expressão do Passo 3, obtemos uma soma dupla.

Passo 5

Reunindo tudo, a aproximação final é
\iint_{R}f(x,y)\,dx\,dy \approx \frac{h_x\,h_y}{9} \sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n} \lambda_i\,\mu_j\,f(x_i,y_j),
onde
\lambda_i = \begin{cases} 1, & i=0\text{ ou }i=m,\\\\ 4, & i\text{ ímpar},\\\\ 2, & i\text{ par},\;1\le i\le m-1, \end{cases} \qquad \mu_j = \begin{cases} 1, & j=0\text{ ou }j=n,\\\\ 4, & j\text{ ímpar},\\\\ 2, & j\text{ par},\;1\le j\le n-1. \end{cases}íí

Resposta

\iint_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)\,dx\,dy \approx \frac{h_x\,h_y}{9} \sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n} \lambda_i\,\mu_j\,f(x_i,y_j),
com m,n pares, h_x=(b-a)/m, h_y=(d-c)/n e \lambda_i,\mu_j definidos acima.

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