3^{\circ} ) Considere o Sistema de Equações Lineares \mathbf{A} \cdot \mathbf{X}=\mathbf{B}, dado a seguir.
Mostre a fatoração \mathbf{A}=\mathbf{L} . \mathbf{U}, onde \mathbf{L} é uma matriz triangular inferior com diagonal principal 1, \ldots, 1, e \mathbf{U} é uma matriz triangular superior.
\left\{\begin{aligned} 2 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}= & 5,0 \\\\ 4 x_{1}+6 x_{2}+5 x_{3}= & 8,5 \\\\ -2 x_{1}+11 x_{2}+4 x_{3}= & -2,0 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede a fatoração LU da matriz
\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\\\ 4 & 6 & 5\\\\ -2 & 11 & 4 \end{pmatrix}
em que \mathbf{L} é triangular inferior com diagonal unitária e \mathbf{U} é triangular superior. Para isso vamos aplicar eliminação de Gauss sem permutações, registrando os multiplicadores na matriz \mathbf{L}.

Passo 2

Como primeiro pivô temos a_{11}=2. Calculamos os multiplicadores
m_{21} = \frac{4}{2} = 2,\qquad m_{31} = \frac{-2}{2} = -1.
Eliminando abaixo do pivô:
\text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 -2\cdot\text{linha}_1 \quad\Rightarrow\quad (4,6,5) -2\,(2,1,2) = (0,4,1),
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 -(-1)\cdot\text{linha}_1 \quad\Rightarrow\quad (-2,11,4) + (2,1,2) = (0,12,6).

Passo 3

O segundo pivô é agora o elemento a_{22}^{(1)}=4. Calculamos
m_{32} = \frac{12}{4} = 3.
Eliminando abaixo do pivô:
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 -3\cdot\text{linha}_2 \quad\Rightarrow\quad (0,12,6) -3\,(0,4,1) = (0,0,3).
O resultado final da eliminação é a matriz triangular superior
\mathbf{U} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\\\ 0 & 4 & 1\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 4

Os multiplicadores formam a matriz \mathbf{L} com diagonal 1:
\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ m_{21} & 1 & 0\\\ m_{31} & m_{32} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\\\ 0 & 4 & 1\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados