[1] Dado o Problema de Valor Inicial (PVI):
(a) Discretize o problema usando os métodos de Euler Explícito e Euler Implícito, com
.
(b) Obtenha as soluções aproximadas com o método de Euler Explíto.
(c) Apresente a equação algébrica que deve ser resolvida a cada passo de tempo com o método de Euler Implícito.
(b) Obtenha as soluções aproximadas com o método de Euler Explíto.
(c) Apresente a equação algébrica que deve ser resolvida a cada passo de tempo com o método de Euler Implícito.
Passo 1
O enunciado nos dá o PVI
que reescrevemos como
Queremos aplicar os métodos de Euler Explícito e Euler Implícito com
.
Passo 2
Discretização dos métodos.
Para e
:
Para
Passo 3
Cálculo das soluções aproximadas pelo método de Euler Explícito.
Começando em ,
:
Começando em
Passo 4
Equação algébrica a cada passo para o método de Euler Implícito.
A fórmula
A fórmula
pode ser rearranjada em
que é a equação não-linear que deve ser solucionada (por exemplo, via Newton) para obter
.
Resposta
(a)
Euler Explícito:
Euler Explícito:
Euler Implícito:
(b)
Pelos valores em :
Pelos valores em
(c)
Equação a resolver em cada passo do Euler Implícito:
Equação a resolver em cada passo do Euler Implícito: