[1] Dado o Problema de Valor Inicial (PVI):
\left\{\begin{aligned} \frac{d y}{d t}-t^{2}+y^{2} & =0, t \in[0,0.6] \\\ y(0) & =1 \end{aligned}\right.
(a) Discretize o problema usando os métodos de Euler Explícito e Euler Implícito, com \Delta t=0.2.
(b) Obtenha as soluções aproximadas com o método de Euler Explíto.
(c) Apresente a equação algébrica que deve ser resolvida a cada passo de tempo com o método de Euler Implícito.

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
\begin{cases} \dfrac{dy}{dt} - t^2 + y^2 = 0,\quad t\in[0,0{,}6],\\\ y(0)=1, \end{cases}
que reescrevemos como
\frac{dy}{dt} = f(t,y),\quad f(t,y)=t^2 - y^2.
Queremos aplicar os métodos de Euler Explícito e Euler Implícito com \Delta t=0{,}2.

Passo 2

Discretização dos métodos.
Para t_n = n\,\Delta t e y_n\approx y(t_n):
\text{Euler Explícito:}\quad y_{n+1} = y_n + \Delta t\;f(t_n,y_n) = y_n + \Delta t\bigl(t_n^2 - y_n^2\bigr).í
\text{Euler Implícito:}\quad y_{n+1} = y_n + \Delta t\;f\bigl(t_{n+1},y_{n+1}\bigr) = y_n + \Delta t\bigl(t_{n+1}^2 - y_{n+1}^2\bigr).í

Passo 3

Cálculo das soluções aproximadas pelo método de Euler Explícito.
Começando em t_0=0, y_0=1:
y_1 = y_0 + 0{,}2\bigl(0^2 - 1^2\bigr) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8,
y_2 = y_1 + 0{,}2\bigl(0{,}2^2 - 0{,}8^2\bigr) = 0{,}8 + 0{,}2(0{,}04 - 0{,}64) = 0{,}8 - 0{,}12 = 0{,}68,
y_3 = y_2 + 0{,}2\bigl(0{,}4^2 - 0{,}68^2\bigr) = 0{,}68 + 0{,}2(0{,}16 - 0{,}4624) = 0{,}68 - 0{,}06048 = 0{,}61952.

Passo 4

Equação algébrica a cada passo para o método de Euler Implícito.
A fórmula
y_{n+1} = y_n + 0{,}2\bigl(t_{n+1}^2 - y_{n+1}^2\bigr)
pode ser rearranjada em
y_{n+1} + 0{,}2\,y_{n+1}^2 = y_n + 0{,}2\,t_{n+1}^2,
que é a equação não-linear que deve ser solucionada (por exemplo, via Newton) para obter y_{n+1}.

Resposta

(a)
Euler Explícito:
y_{n+1} = y_n + 0{,}2\bigl(t_n^2 - y_n^2\bigr).
Euler Implícito:
y_{n+1} = y_n + 0{,}2\bigl(t_{n+1}^2 - y_{n+1}^2\bigr).
(b)
Pelos valores em t=0{,}2,0{,}4,0{,}6:
y(0{,}2)\approx0{,}8,\quad y(0{,}4)\approx0{,}68,\quad y(0{,}6)\approx0{,}61952.
(c)
Equação a resolver em cada passo do Euler Implícito:
y_{n+1} + 0{,}2\,y_{n+1}^2 = y_n + 0{,}2\,t_{n+1}^2.

Exercícios relacionados