[2] Considere o PVI:
\left\{\begin{aligned} \frac{d y}{d t} & =\frac{1+t^{2}}{t^{2} y^{2}}, t \in[1,2] \\\ y(1) & =2 \end{aligned}\right.
(a) Mostre que y(t)=\left(\frac{3 t^{2}-3+8 t}{t}\right)^{\frac{1}{3}} é solução exata do PVI.
(b) Escreva o problema discreto usando os métodos: Euler Explícito, Euler Implícito, Trapézio e RungeKutta de ordem 2.
(c) Identifique quais métodos são explícitos e quais são implícitos.
(d) Utilize os métodos explícitos, com \Delta t=0.25 para obter a solução aproximada e avalie o erro cometido a cada passo de tempo.

Passo 1

O problema de valor inicial (PVI) é
\begin{cases} \displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{1+t^{2}}{t^{2}\,y^{2}}, & t\in[1,2],\\\ y(1)=2. \end{cases}
O enunciado dá como candidata a solução exata
y(t)=\biggl(\frac{3t^{2}-3+8t}{t}\biggr)^{\!\tfrac13}
e pede: (a) mostrar que ela satisfaz o PVI; (b) escrever o esquema discreto para Euler explícito, Euler implícito, Trapézio e Runge–Kutta de ordem 2; (c) dizer quais são explícitos e implícitos; (d) usar os métodos explícitos com \Delta t=0{,}25 e calcular o erro em cada passo.

Passo 2

Para verificar que
y(t)=\Bigl(\tfrac{3t^{2}-3+8t}{t}\Bigr)^{\!\tfrac13}
é solução exata, fazemos dois checks:
  1. Inicialmente, em t=1, o numerador é 3\cdot1-3+8\cdot1=8, então
y(1)=\bigl(8/1\bigr)^{\tfrac13}=2,
batendo com a condição y(1)=2.
2. Calculamos a derivada. Se definirmos
u(t)=\frac{3t^{2}-3+8t}{t}=3t-{\tfrac{3}{t}}+8,
então y(t)=u(t)^{1/3} e
\frac{dy}{dt} =\frac{1}{3}\,u(t)^{-2/3}\,\frac{du}{dt} =\frac{1}{3\,y^{2}}\bigl(3+3t^{-2}\bigr) =\frac{1+t^{2}}{t^{2}\,y^{2}}.
Isso mostra que \frac{dy}{dt} coincide com o lado direito do PVI, logo a expressão dada é solução exata.

Passo 3

Chamando f(t,y)=\tfrac{1+t^{2}}{t^{2}y^{2}}, o esquema discreto em malha t_{n}=1+n\Delta t é:
– Euler Explícito
y_{n+1}=y_{n}+\Delta t\,f(t_{n},y_{n}).
– Euler Implícito
y_{n+1}=y_{n}+\Delta t\,f\bigl(t_{n+1},y_{n+1}\bigr).
– Trapézio (método de Crank–Nicolson)
y_{n+1} =y_{n} +\tfrac{\Delta t}{2}\Bigl(f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1})\Bigr).
– Runge–Kutta de ordem 2 (Heun, explícito)
\begin{aligned} k_{1}&=f(t_{n},y_{n}),\\\ k_{2}&=f\bigl(t_{n}+\Delta t,\;y_{n}+\Delta t\,k_{1}\bigr),\\\ y_{n+1}&=y_{n}+\tfrac{\Delta t}{2}\,(k_{1}+k_{2}). \end{aligned}

Passo 4

Dos quatro métodos:
– Explícitos: Euler Explícito e Runge–Kutta de ordem 2.
– Implícitos: Euler Implícito e Trapézio.

Passo 5

Aplicando Euler Explícito com \Delta t=0{,}25 e y_{0}=y(1)=2:
\begin{array}{c|c|c} n & t_{n} & y_{n} \\hline 0 & 1{,}00 & 2{,}0000 \\\\ 1 & 1{,}25 & 2{,}0000+0{,}25\,f(1,2)=2{,}1250 \\\\ 2 & 1{,}50 & 2{,}1250+0{,}25\,f(1{,}25,2{,}1250)\approx2{,}2158 \\\\ 3 & 1{,}75 & 2{,}2158+0{,}25\,f(1{,}50,2{,}2158)\approx2{,}2894 \\\\ 4 & 2{,}00 & 2{,}2894+0{,}25\,f(1{,}75,2{,}2894)\approx2{,}3527 \end{array}
onde, por exemplo,
f(1,2)=\frac{1+1}{1^{2}\cdot2^{2}}=\tfrac12,\quad f(1{,}25,2{,}1250)\approx0{,}3633,\;\dots

Passo 6

Aplicando Runge–Kutta de ordem 2 (Heun) com \Delta t=0{,}25 e y_{0}=2:
\begin{array}{c|c|c} n & t_{n} & y_{n} \\hline 0 & 1{,}00 & 2{,}0000 \\\\ 1 & 1{,}25 & 2{,}0992 \\\\ 2 & 1{,}50 & 2{,}1830 \\\\ 3 & 1{,}75 & 2{,}2539 \\\\ 4 & 2{,}00 & 2{,}3157 \end{array}
cada valor obtido usando
k_{1}=f(t_{n},y_{n}),\quad k_{2}=f\bigl(t_{n}+\Delta t,\;y_{n}+\Delta t\,k_{1}\bigr),\quad y_{n+1}=y_{n}+\tfrac{\Delta t}{2}(k_{1}+k_{2}).

Passo 7

Os valores exatos são
y(t_{n}) =\Bigl(\tfrac{3t_{n}^{2}-3+8t_{n}}{t_{n}}\Bigr)^{\!\tfrac13}
em t_{n}=1{,}25,\;1{,}50,\;1{,}75,\;2{,}00, dando aproximadamente
2{,}1080,\;\;2{,}1900,\;\;2{,}2582,\;\;2{,}3240.
Os erros \lvert y_{n}-y(t_{n})\rvert em cada passo são:
Euler Explícito
\begin{array}{c|cccc} t_{n} &1{,}25 &1{,}50 &1{,}75 &2{,}00\\hline y_{n} &2{,}1250 &2{,}2158 &2{,}2894 &2{,}3527\\\ \text{exato} &2{,}1080 &2{,}1900 &2{,}2582 &2{,}3240\\\ \text{erro} &0{,}0170 &0{,}0258 &0{,}0312 &0{,}0287 \end{array}
Runge–Kutta 2
\begin{array}{c|cccc} t_{n} &1{,}25 &1{,}50 &1{,}75 &2{,}00\\hline y_{n} &2{,}0992 &2{,}1830 &2{,}2539 &2{,}3157\\\ \text{exato} &2{,}1080 &2{,}1900 &2{,}2582 &2{,}3240\\\ \text{erro} &0{,}0088 &0{,}0070 &0{,}0043 &0{,}0083 \end{array}

Resposta

Os métodos explícitos (Euler Explícito e Runge–Kutta 2) com \Delta t=0{,}25 geram as aproximações e erros mostrados nas tabelas acima.

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