[5] Considere o sistema de EDOs:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=y^{2}-2 y x, t \in[0,0.5] \\\ x^{\prime}=t y+y^{2} \sin (x) \\\ y(0)=1, x(0)=-1 \end{array}\right.
utilize os métodos de Euler Explícito e Euler Implícito para discretizar o problema e utilize o método de Euler Explícito para resolver o sistema de EDOs com \Delta t=0.25.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de EDOs
\begin{cases} y' = y^2 - 2\,y\,x,\\\ x' = t\,y + y^2\sin(x), \end{cases}
com condições iniciais y(0)=1, x(0)=-1, no intervalo t\in[0,0,5].
O que precisamos:
  1. Discretizar esse sistema pelos métodos de Euler explícito e implícito.
  2. Usar o método de Euler explícito com passo \Delta t=0,25 para obter y e x em t=0,25 e t=0,5.

Passo 2

Discretização pelo Euler Explícito:
Se definirmos t_n = n\,\Delta t, y_n\approx y(t_n), x_n\approx x(t_n), então
y_{n+1} = y_n + \Delta t\bigl(y_n^2 - 2\,y_n\,x_n\bigr),
x_{n+1} = x_n + \Delta t\bigl(t_n\,y_n + y_n^2\sin(x_n)\bigr).

Passo 3

Discretização pelo Euler Implícito:
As fórmulas são semelhantes, mas avaliam os termos de derivada em t_{n+1} e (y_{n+1},x_{n+1}):
y_{n+1} = y_n + \Delta t\bigl(y_{n+1}^2 - 2\,y_{n+1}\,x_{n+1}\bigr),
x_{n+1} = x_n + \Delta t\bigl(t_{n+1}\,y_{n+1} + y_{n+1}^2\sin(x_{n+1})\bigr).
Para cada passo obteríamos um sistema não-linear em (y_{n+1},x_{n+1}).

Passo 4

Aplicando o Euler Explícito com \Delta t=0,25, para n=0\to1:
  • t_0 = 0, y_0 = 1, x_0 = -1.
  • Calculamos f_{y,0} = y_0^2 - 2\,y_0\,x_0 = 1^2 - 2\cdot1\cdot(-1) = 3,
f_{x,0} = t_0\,y_0 + y_0^2\sin(x_0) = 0\cdot1 + 1\cdot\sin(-1) = -\sin(1)\approx -0,84147.
  • Então y_1 = 1 + 0,25\cdot3 = 1{,}75,
x_1 = -1 + 0,25\cdot(-0,84147)\approx -1{,}21037.

Passo 5

Para n=1\to2, com t_1=0,25, y_1=1{,}75, x_1\approx -1{,}21037:
  • Primeiro avaliamos f_{y,1} = y_1^2 - 2\,y_1\,x_1 = (1{,}75)^2 - 2\cdot1{,}75\cdot(-1{,}21037) \approx 3{,}0625 + 4{,}2363 = 7{,}2988,
f_{x,1} = t_1\,y_1 + y_1^2\sin(x_1) = 0{,}25\cdot1{,}75 + 3{,}0625\sin(-1{,}21037) \approx 0{,}4375 - 2{,}8696 = -2{,}4321.
  • Então y_2 = y_1 + 0,25\cdot7{,}2988 \approx 1{,}75 + 1{,}8247 = 3{,}5747,
x_2 = x_1 + 0,25\cdot(-2{,}4321) \approx -1{,}21037 - 0{,}6080 = -1{,}8184.

Resposta

A aplicação do método de Euler Explícito com \Delta t=0,25 dá as aproximações:
y(0,25)\approx y_1 = 1,75,\quad x(0,25)\approx x_1 = -1,21037,
y(0,50)\approx y_2 = 3,57470,\quad x(0,50)\approx x_2 = -1,81840.

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