(a) Verifique que y(t)=e^{-t}+t-1 é solução exata do PVI.
(b) Utilize os métodos de Euler Explícito, Euler Implícito, Trapézio e Runge-Kutta de segunda ordem, com \Delta t=0.1 para obter a solução aproximada em y(0.6).
(c) Avalie o erro e compare os resultados.
Passo 1
O PVI é
\begin{cases} \frac{dy}{dt} + y = t,\quad t\in[0,0,6],\\\ y(0)=0. \end{cases}
Conteúdo: EDO linear de 1.º ordem, verificação de solução exata e métodos numéricos de passo único (Euler explícito, Euler implícito, Trapézio e Runge–Kutta de 2.ª ordem) com \Delta t=0,1 para aproximar y(0,6).
Passo 2
Verificamos y(t)=e^{-t}+t-1. Calculamos
\frac{dy}{dt} = -e^{-t}+1,
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\frac{dy}{dt} + y = (-e^{-t}+1) + (e^{-t}+t-1) = t.
Em t=0, y(0)=e^0+0-1=0. Portanto, y(t)=e^{-t}+t-1 satisfaz o PVI.
Passo 3
Método de Euler explícito: \;y_{n+1}=y_n + h\bigl(t_n - y_n\bigr), h=0,1. Iterando de t_0=0 até t_6=0,6 com y_0=0, obtemos y_1=0, y_2=0,01, y_3=0,029, y_4=0,0561, y_5=0,09049, y_6\approx0,131441.
Erros absolutos:
Euler explícito: \bigl|0,148812 - 0,131441\bigr|\approx0,017371,
Euler implícito: \approx0,015661,
Trapézio: \approx0,000275,
RK2: \approx0,000592.
O método do Trapézio foi o mais preciso.
Resposta
(a) y(t)=e^{-t}+t-1 satisfaz o PVI.
(b) y_{EE}(0,6)\approx0,131441,\;y_{EI}(0,6)\approx0,164472,\;y_{T}(0,6)\approx0,148536,\;y_{RK2}(0,6)\approx0,149404.
(c) Erros \approx0,017371,\;0,015661,\;0,000275,\;0,000592; o Trapézio foi o melhor.