[3] Dado o PVI:
\left\{\begin{aligned} \frac{d y}{d t}+y & =t, t \in[0,0.6] \\\ y(0) & =0 \end{aligned}\right.
(a) Verifique que y(t)=e^{-t}+t-1 é solução exata do PVI.
(b) Utilize os métodos de Euler Explícito, Euler Implícito, Trapézio e Runge-Kutta de segunda ordem, com \Delta t=0.1 para obter a solução aproximada em y(0.6).
(c) Avalie o erro e compare os resultados.

Passo 1

O PVI é
\begin{cases} \frac{dy}{dt} + y = t,\quad t\in[0,0,6],\\\ y(0)=0. \end{cases}
Conteúdo: EDO linear de 1.º ordem, verificação de solução exata e métodos numéricos de passo único (Euler explícito, Euler implícito, Trapézio e Runge–Kutta de 2.ª ordem) com \Delta t=0,1 para aproximar y(0,6).

Passo 2

Verificamos y(t)=e^{-t}+t-1. Calculamos
\frac{dy}{dt} = -e^{-t}+1,
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\frac{dy}{dt} + y = (-e^{-t}+1) + (e^{-t}+t-1) = t.
Em t=0, y(0)=e^0+0-1=0. Portanto, y(t)=e^{-t}+t-1 satisfaz o PVI.

Passo 3

Método de Euler explícito: \;y_{n+1}=y_n + h\bigl(t_n - y_n\bigr), h=0,1. Iterando de t_0=0 até t_6=0,6 com y_0=0, obtemos
y_1=0,
y_2=0,01,
y_3=0,029,
y_4=0,0561,
y_5=0,09049,
y_6\approx0,131441.

Passo 4

Método de Euler implícito:
y_{n+1}=y_n + h\bigl(t_{n+1}-y_{n+1}\bigr) \;\Longrightarrow\; y_{n+1}=\frac{y_n + h\,t_{n+1}}{1+h}.
Com h=0,1 e y_0=0, iterando até n=5
y_6\approx0,164472.

Passo 5

Método do Trapézio (Crank–Nicolson):
y_{n+1}=\frac{(1-\tfrac h2)\,y_n + \tfrac h2\,(t_n+t_{n+1})}{1+\tfrac h2},
com h=0,1. Iterando, chega-se a
y_6\approx0,148536.

Passo 6

Runge–Kutta de 2.ª ordem (método do ponto médio):
k_1 = t_n - y_n,\quad k_2 = \bigl(t_n+\tfrac h2\bigr) - \bigl(y_n+\tfrac h2\,k_1\bigr),
y_{n+1}=y_n + h\,k_2.
Com h=0,1 e y_0=0, isso dá
y_6\approx0,149404.

Passo 7

O valor exato em t=0,6 é
y(0,6)=e^{-0,6}+0,6-1\approx0,148812.
Erros absolutos:
Euler explícito: \bigl|0,148812 - 0,131441\bigr|\approx0,017371,
Euler implícito: \approx0,015661,
Trapézio: \approx0,000275,
RK2: \approx0,000592.
O método do Trapézio foi o mais preciso.

Resposta

(a) y(t)=e^{-t}+t-1 satisfaz o PVI.
(b) y_{EE}(0,6)\approx0,131441,\;y_{EI}(0,6)\approx0,164472,\;y_{T}(0,6)\approx0,148536,\;y_{RK2}(0,6)\approx0,149404.
(c) Erros \approx0,017371,\;0,015661,\;0,000275,\;0,000592; o Trapézio foi o melhor.

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