[4] Transforme a equação diferencial de terceira ordem:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime \prime}=y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y, t \in[0,0.6] \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=1 \end{array}\right.
em um sistema de três Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e resolva-o usando o métodos de Euler Explícito, Euler Implícito e Euler Aprimorado com \Delta t=0.2.

Passo 1

O enunciado pede para transformar a equação diferencial de terceira ordem
y''' = y'' - 3y' + 2y,\quad y(0)=0,\;y'(0)=0,\;y''(0)=1
num sistema de três EDOs de primeira ordem e em seguida aplicar os métodos de Euler Explícito, Euler Implícito e Euler Aprimorado (Heun) com \Delta t=0,2 em [0,0{,}6].

Passo 2

Definimos
x_1 = y,\quad x_2 = y',\quad x_3 = y'',
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x_1' = x_2,\quad x_2' = x_3,\quad x_3' = x_3 - 3x_2 + 2x_1.
Em forma matricial x' = A\,x, onde
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix},
e a condição inicial é x(0) = (0,0,1)^T.

Passo 3

Para o método de Euler Explícito usamos
x_{n+1} = x_n + \Delta t\,A\,x_n.
Partindo de x_0=(0,0,1)^T e \Delta t=0,2 obtemos
x_1 = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} + 0,2\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0{,}2\\\ 1{,}2\end{pmatrix},
x_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 0{,}2\\\ 1{,}2\end{pmatrix} + 0,2 \begin{pmatrix}0{,}2\\\ 1{,}2\\\ 0{,}6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}04\\\ 0{,}44\\\ 1{,}32\end{pmatrix},
x_3 = \begin{pmatrix}0{,}04\\\ 0{,}44\\\ 1{,}32\end{pmatrix} + 0,2 \begin{pmatrix}0{,}44\\\ 1{,}32\\\ 0{,}08\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}128\\\ 0{,}704\\\ 1{,}336\end{pmatrix}.

Passo 4

Para o método de Euler Implícito resolvemos em cada passo
\bigl(I - \Delta t\,A\bigr)\,x_{n+1} = x_n,
com
I - 0,2\,A = \begin{pmatrix} 1 & -0,2 & 0\\\\ 0 & 1 & -0,2\\\\ -0,4 & 0,6 & 0,8 \end{pmatrix}.
Solucionando sucessivamente, partindo de x_0=(0,0,1)^T, achamos
x_1 \approx \begin{pmatrix}0{,}04425\\\ 0{,}22124\\\ 1{,}10619\end{pmatrix},\quad x_2 \approx \begin{pmatrix}0{,}13313\\\ 0{,}44439\\\ 1{,}11574\end{pmatrix},\quad x_3 \approx \begin{pmatrix}0{,}26350\\\ 0{,}65185\\\ 1{,}03730\end{pmatrix}.

Passo 5

Para o método de Euler Aprimorado (Heun) usamos o predictor-corrector
\hat x_{n+1} = x_n + \Delta t\,A\,x_n,\quad x_{n+1} = x_n + \tfrac{\Delta t}{2}\bigl(A\,x_n + A\,\hat x_{n+1}\bigr).
Calculando para cada passo com \Delta t=0,2, partindo de x_0=(0,0,1)^T, obtemos
x_1 \approx \begin{pmatrix}0{,}0200\\\ 0{,}2200\\\ 1{,}1600\end{pmatrix},\quad x_2 \approx \begin{pmatrix}0{,}0872\\\ 0{,}4628\\\ 1{,}2180\end{pmatrix},\quad x_3 \approx \begin{pmatrix}0{,}2041\\\ 0{,}7065\\\ 1{,}1643\end{pmatrix}.

Resposta

Euler Explícito
t =0,2: y=0, y'=0{,}2, y''=1{,}2
t =0,4: y=0{,}04, y'=0{,}44, y''=1{,}32
t =0,6: y=0{,}128, y'=0{,}704, y''=1{,}336
Euler Implícito
t =0,2: y\approx0{,}04425, y'\approx0{,}22124, y''\approx1{,}10619
t =0,4: y\approx0{,}13313, y'\approx0{,}44439, y''\approx1{,}11574
t =0,6: y\approx0{,}26350, y'\approx0{,}65185, y''\approx1{,}03730
Euler Aprimorado
t =0,2: y\approx0{,}0200, y'\approx0{,}2200, y''\approx1{,}1600
t =0,4: y\approx0{,}0872, y'\approx0{,}4628, y''\approx1{,}2180
t =0,6: y\approx0{,}2041, y'\approx0{,}7065, y''\approx1{,}1643

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