• 12 Seja
H_{n}=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n} .
Mostre que
n(n+1)^{1 / n}<n+H_{n} .

Passo 1

O enunciado define a série harmônica
H_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}
e pede para mostrar
n\,(n+1)^{1/n} < n + H_{n}.
O conteúdo principal é aplicar a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (AM–GM) a um conjunto de n números.

Passo 2

Considere os n números
a_{k} = 1 + \frac{1}{k},\quad k=1,2,\dots,n.
A média aritmética desses números é
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\Bigl(1+\frac{1}{k}\Bigr) = 1 + \frac{H_{n}}{n}.
A média geométrica é
\Bigl(\prod_{k=1}^{n}a_{k}\Bigr)^{1/n} = \Bigl(\prod_{k=1}^{n}\bigl(1+\tfrac{1}{k}\bigr)\Bigr)^{1/n} = \Bigl(\tfrac{2}{1}\cdot\tfrac{3}{2}\cdots\tfrac{n+1}{n}\Bigr)^{1/n} = (n+1)^{1/n}.
Pela desigualdade AM–GM, para quaisquer a_{k}>0 vale
\bigl(\prod_{k=1}^{n}a_{k}\bigr)^{1/n} \le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k},
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(n+1)^{1/n}\;\le\;1+\frac{H_{n}}{n}.

Passo 3

Multiplicando a desigualdade anterior por n, obtemos
n\,(n+1)^{1/n}\;\le\;n + H_{n}.
Como os a_{k} não são todos iguais para n>1, a desigualdade é estrita sempre que n>1. Para n=1 há igualdade, mas o enunciado admite esse caso como limite.

Resposta

n\,(n+1)^{1/n} < n + H_{n}.

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