- 12 Seja
Mostre que
Passo 1
O enunciado define a série harmônica
e pede para mostrar
O conteúdo principal é aplicar a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (AM–GM) a um conjunto de
números.
Passo 2
Considere os
números
A média aritmética desses números é
A média geométrica é
Pela desigualdade AM–GM, para quaisquer
vale
logo
Passo 3
Multiplicando a desigualdade anterior por
, obtemos
Como os
não são todos iguais para
, a desigualdade é estrita sempre que
. Para
há igualdade, mas o enunciado admite esse caso como limite.