Determine o resto da divisão de
9 \times 99 \times 999 \times \cdots \times \underbrace{99 \cdots 9}_{9999^{\prime} \mathrm{s}}
por 1000.

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de
P = 9 \times 99 \times 999 \times \cdots \times \underbrace{99\cdots9}_{\text{\(9999\) algarismos “9”}}
por 1000. Vamos usar aritmética modular e o Teorema Chinês dos Resíduos, calculando primeiro P módulo 8 e módulo 125, depois reunindo os resultados.

Passo 2

Cálculo de P \bmod 8.
Cada fator é T_k = 10^k - 1 com k=1,2,\dots,9999. Note que 10\equiv2\pmod8, logo
  • Para k=1: T_1=9\equiv1\pmod8.
  • Para k=2: T_2=99\equiv3\pmod8.
  • Para k\ge3: 10^k\equiv2^k\equiv0\pmod8 (pois 2^3=8\equiv0), então T_k\equiv-1\equiv7\pmod8.
Assim
P\equiv1\times3\times7^{9997}\pmod8.
Como 7\equiv-1\pmod8, temos
7^{9997}\equiv(-1)^{9997}\equiv-1\equiv7\pmod8,
logo
P\equiv1\times3\times7\equiv21\equiv5\pmod8.

Passo 3

Cálculo de P \bmod 125.
De modo análogo, T_k=10^k-1:
  • Para k=1: T_1=9\equiv9\pmod{125}.
  • Para k=2: T_2=99\equiv99\pmod{125}.
  • Para k\ge3: 10^k\equiv0\pmod{125} (pois 10^3=1000\equiv0), então T_k\equiv-1\equiv124\pmod{125}.
Logo
P\equiv9\times99\times124^{9997}\pmod{125}.
Como 124\equiv-1\pmod{125},
124^{9997}\equiv(-1)^{9997}\equiv-1\equiv124\pmod{125}.
Temos então
9\times99\equiv891\equiv16\pmod{125},
e
P\equiv16\times124=1984\equiv1984-15\cdot125=1984-1875=109\pmod{125}.

Passo 4

Aplicação do Teorema Chinês dos Resíduos para
P\equiv5\pmod8, \qquad P\equiv109\pmod{125}.
Procuramos P=109+125k tal que
109+125k\equiv5\pmod8.
Como 109\equiv5\pmod8 e 125\equiv5\pmod8, isso vira
5+5k\equiv5\pmod8 \quad\Longrightarrow\quad 5k\equiv0\pmod8 \quad\Longrightarrow\quad k\equiv0\pmod8.
A solução mínima é k=0, logo
P\equiv109\pmod{1000}.

Resposta

O resto da divisão é 109.

Exercícios relacionados