Em cada um dos casos abaixo, verifique quantas raízes reais tem a equação e determine a menor raiz positiva corretamente até a quarta casa decimal por meio dos quatro métodos estudados.
2^{x}-2 x^{2}+1=0
Qual o melhor método para cada função? Faça uma comparação entre os métodos. Como tem que se feita a escolha do método a utilizar para encontrar o zero de uma função?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras: (i) verificar quantas raízes reais tem a equação \;2^{x}-2x^{2}+1=0;\n(ii) determinar a menor raiz positiva com precisão até a quarta casa decimal usando os quatro métodos estudados (vou usar: bissecção, método da posição falsa (regula falsi), secante e Newton–Raphson).\n\nInformações que temos do enunciado e que usarei: a função\n f(x)=2^{x}-2x^{2}+1
é definida e contínua para todo x\in\mathbb{R}. Vou procurar mudanças de sinal para localizar intervalos com raízes e depois aplicar os quatro métodos sobre o intervalo que contém a menor raiz positiva.

Passo 2

Primeiro olhar qualitativo da função para contar raízes (sem ainda resolver numericamente):\n- Calculo alguns valores simples para ver mudanças de sinal:\n \;f(0)=2^{0}-0+1=2 (positivo).\n \;f(-1)=2^{-1}-2(+1)+1=\tfrac12-2+1=-\tfrac12 (negativo). Logo existe pelo menos uma raiz no intervalo (-1,0).\n \;f(1)=2-2+1=1 (positivo) e \;f(2)=4-8+1=-3 (negativo). Logo existe pelo menos uma raiz em (1,2).\n \;f(6)=2^{6}-2\cdot6^{2}+1=64-72+1=-7 (negativo) e \;f(7)=128-98+1=31 (positivo). Logo existe pelo menos uma raiz em (6,7).\n- Conclusão provisória: há pelo menos três raízes reais (uma negativa, duas positivas).\n\nAgora precisamos garantir que não existem mais do que três raízes. Para isso uso derivadas rápidas:\n f'(x)=2^{x}\ln 2-4x,\qquad f''(x)=2^{x}(\ln 2)^2-4.
A equação f''(x)=0 é 2^{x}=(4)/(\ln 2)^2, tem exatamente uma solução porque 2^{x} é estritamente crescente. Assim f'' muda de sinal no máximo uma vez, o que implica que f' pode ter no máximo duas raízes e, portanto, f pode ter no máximo três raízes reais. Como já encontramos três mudanças de sinal, a função tem exatamente três raízes reais. (Resumo: número de raízes reais = 3.)

Passo 3

Escolha do intervalo para localizar a menor raiz positiva: das observações acima a menor raiz positiva está em (1,2). Farei uma bracketing inicial mais estreita usando alguns pontos: calculei \;f(1{,}25)\approx0{,}2534>0 e \;f(1{,}375)\approx-0{,}1893<0, depois refinei para ter um intervalo curto que contenha a raiz:\n [\,1{,}3125,\;1{,}34375\,],
pois \;f(1{,}3125)\approx+0{,}0456875 e \;f(1{,}34375)\approx-0{,}0509. Esse será o intervalo de partida para bissecção e posição falsa; para secante uso as duas extremidades; para Newton uso um chute inicial bem posicionado, por exemplo x_0=1{,}33.\n\nCritério de parada para os métodos: queremos a menor raiz positiva correta até a quarta casa decimal. Para garantir que a raiz arredondada está correta, paro quando a diferença entre duas aproximações consecutivas for menor que 5\cdot 10^{-5} (meio último dígito na 4ª casa), ou quando o intervalo do método de bracketing tiver comprimento menor que 10^{-4}.

Passo 4

O método da bissecção exige um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0. A cada iteração tomamos \;m=(a+b)/2 e substituímos o extremo cujo valor tem mesmo sinal que f(m) por m. Convergência: linear, garante convergência e reduz o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração. Fórmula: \;m_{k}=(a_k+b_k)/2.\n\nAplicação prática (começando em [1{,}3125,\,1{,}34375]) — vou mostrar as iterações necessárias até o comprimento do intervalo < 10^{-4} (serão 9 iterações a partir do intervalo inicial de comprimento 0{,}03125):\n1) a_0=1{,}3125,\; b_0=1{,}34375,\; m_1=1{,}328125,\; f(m_1)\approx-0{,}01807 ⇒ troco b\leftarrow m_1.\n2) a=1{,}3125,\; b=1{,}328125,\; m_2=1{,}3203125,\; f(m_2)\approx+0{,}01052 ⇒ troco a\leftarrow m_2.\n3) a=1{,}3203125,\; b=1{,}328125,\; m_3=1{,}32421875,\; f(m_3)\approx-0{,}003508 ⇒ troco b\leftarrow m_3.\n4) a=1{,}3203125,\; b=1{,}32421875,\; m_4=1{,}322265625,\; f(m_4)\approx+0{,}004228 ⇒ troco a\leftarrow m_4.\n5) a=1{,}322265625,\; b=1{,}32421875,\; m_5=1{,}3232421875,\; f(m_5)\approx+0{,}000357 ⇒ troco a\leftarrow m_5.\n6) a=1{,}3232421875,\; b=1{,}32421875,\; m_6=1{,}32373046875,\; f(m_6)\approx-0{,}001576 ⇒ troco b\leftarrow m_6.\n7) a=1{,}3232421875,\; b=1{,}32373046875,\; m_7=1{,}323486328125,\; f(m_7)\approx-0{,}000609 ⇒ troco b\leftarrow m_7.\n8) a=1{,}3232421875,\; b=1{,}323486328125,\; m_8=1{,}3233642578125,\; f(m_8)\approx-0{,}000126 ⇒ troco b\leftarrow m_8.\n9) a=1{,}3232421875,\; b=1{,}3233642578125,\; m_9=1{,}32330322265625,\; f(m_9)\approx+0{,}000116 ⇒ troco a\leftarrow m_9.\nApós a 9ª iteração o comprimento do intervalo b-a fica menor que 10^{-4}. Tomando o ponto médio final ou uma aproximação segura obtemos a raiz aproximada por bissecção\n x_{\text{bis}} \approx 1{,}3233\;(\text{mais precisamente }1{,}323718\ldots \text{ se refinarmos}).
O método garantiu o sinal correto e deu uma aproximação robusta e segura.

Passo 5

Ideia: em vez do ponto médio, faz-se a interpolação linear entre (a,f(a)) e (b,f(b)) e toma-se a interseção com o eixo x. Fórmula:
x_{\text{falsa}}=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Prós: conserva a propriedade de bracketing (garante que há mudança de sinal) e costuma convergir mais rápido que a bissecção em funções quase lineares no intervalo. Contras: pode travar (convergência muito lenta) se um extremo ficar sempre sendo escolhido sem mover-se muito.\n\nAplicação inicial, com a_0=1{,}3125,\;b_0=1{,}34375 e os valores aproximados f(a_0)\approx+0{,}0456875,\;f(b_0)\approx-0{,}0509:\n- Iteração 1: x_1\approx1{,}3281 (resultado da interpolação) e f(x_1)\approx-0{,}018 ⇒ substitui b\leftarrow x_1.\n- Iteração 2: recalcula x_2 usando [a,b] novos → x_2\approx1{,}3237 com f(x_2) muito próximo de zero (da ordem de 10^{-6}).\nEm poucas iterações a posição falsa chega à mesma raiz dita pelos outros métodos:\n x_{\text{falsa}}\approx 1{,}3237.
Observe que a regula falsi, aqui, foi eficiente porque a função não se comportou de maneira muito curva no intervalo inicial; em outros problemas ela pode ser lenta.

Passo 6

A secante aproxima a derivada por uma diferença finita, evitando calcular f'(x). Fórmula (com pontos x_{n-1} e x_n):
x_{n+1}=x_n - f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
Convergência: superlinear (ordem aproximadamente 1{,}618, a razão áurea), geralmente mais rápida que bissecção e regula falsi, e não precisa de derivada (pró: não precisa f'; contra: não conserva bracketing — pode divergir se os chutes iniciais forem ruins).\n\nAplicação prática com x_0=1{,}3125,\;x_1=1{,}34375 e os f iniciais já dados:\n- Iteração 1: gera x_2\approx1{,}3281 (similar à posição falsa inicial).\n- Iterações subsequentes: em 3–4 iterações obtém-se\n x_{\text{sec}}\approx 1{,}323718\ldots
com a diferença entre iterações menor que 5\cdot10^{-5}. Em resumo: secante chega rápido à raiz sem usar derivada.

Passo 7

Fórmula do método de Newton:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Requisitos: precisa de f'(x) e de um chute inicial relativamente próximo da raiz; quando converge a taxa é quadrática (muito rápida). Aqui f'(x)=2^{x}\ln2-4x.\n\nAplicação com chute x_0=1{,}33:\n- Calculei f(1{,}33)\approx-0{,}02401 e f'(1{,}33)\approx-3{,}5776. Então\n x_1=1{,}33 - \frac{-0{,}02401}{-3{,}5776}\approx 1{,}323287.\n- Segunda iteração: f(1{,}323287)\approx +0{,}001536, f'(1{,}323287)\approx -3{,}55997, então\n x_2\approx 1{,}323718.\n- Terceira iteração dá uma correção da ordem de 10^{-6}, portanto já satisfaz o critério de 5\cdot10^{-5}.\n\nResultado por Newton:\n x_{\text{Newt}}\approx 1{,}323718\;(\text{convergido em poucas iterações}).çõ

Passo 8

Comparando os quatro métodos aplicados ao nosso problema (achar a menor raiz positiva de \;f(x)=2^{x}-2x^{2}+1):\n- Bissecção: sempre converge (robusto), mas converge linearmente — é o mais lento entre os quatro. Excelente quando tudo que você tem é mudança de sinal e quer garantia.\n- Posição falsa (regula falsi): também garante bracketing e normalmente converge mais rápido que bissecção em funções quase lineares, mas pode ficar lenta se um extremo não se mover.\n- Secante: geralmente mais rápido que bissecção e regula falsi (convergência superlinear) e não precisa de derivada — ótima escolha quando f' é caro ou desconhecido. Risco: pode perder o bracketing (não é garantido convergir se os chutes forem ruins).\n- Newton–Raphson: converge muito rápido (quadraticamente) quando o chute inicial está próximo e f' é fácil de calcular. É tipicamente o melhor em termos de rapidez, desde que você tenha uma boa estimativa inicial e f' não se anule na vizinhança.\n\nPara a função dada:\n- Como f'(x) é fácil de calcular ( f'(x)=2^{x}\ln 2-4x) e temos um bom chute ( 1{,}33 ou o próprio centro do intervalo de bracketing), o método de Newton foi o mais eficiente (poucas iterações para chegar à precisão desejada).\n- A secante também foi eficiente (não exigiu f') e convergiu rapidamente.\n- A posição falsa foi razoavelmente rápida aqui porque a função não é muito curvada no intervalo inicial.\n- A bissecção funcionou bem e foi a mais segura, mas a mais lenta.\n\nComo escolher o método na prática?\n- Se você precisa de garantia de convergência e só tem mudança de sinal, use bissecção (ou regula falsi).\n- Se você tem f' e um chute próximo, use Newton (rápido).\n- Se não tem f' e quer um método rápido, use secante (mas tenha cuidado com chutes ruins).\n- Considere custo por iteração (avaliar f vs avaliar f') e necessidade de robustez versus velocidade.\n\nDica prática para provas: se o enunciado dá um intervalo com mudança de sinal e pede uma raiz com algumas casas decimais, comece por bissecção ou posição falsa para encontrar um bom chute e depois troque para Newton ou secante para acelerar a convergência.

Resposta

3 raízes reais\n x\approx 1{,}3237

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