Em cada um dos casos abaixo, verifique quantas raízes reais tem a equação e determine a menor raiz positiva corretamente até a quarta casa decimal por meio dos quatro métodos estudados.
Qual o melhor método para cada função? Faça uma comparação entre os métodos. Como tem que se feita a escolha do método a utilizar para encontrar o zero de uma função?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras: (i) verificar quantas raízes reais tem a equação
;\n(ii) determinar a menor raiz positiva com precisão até a quarta casa decimal usando os quatro métodos estudados (vou usar: bissecção, método da posição falsa (regula falsi), secante e Newton–Raphson).\n\nInformações que temos do enunciado e que usarei: a função\n
é definida e contínua para todo
. Vou procurar mudanças de sinal para localizar intervalos com raízes e depois aplicar os quatro métodos sobre o intervalo que contém a menor raiz positiva.
Passo 2
Primeiro olhar qualitativo da função para contar raízes (sem ainda resolver numericamente):\n- Calculo alguns valores simples para ver mudanças de sinal:\n
(positivo).\n
(negativo). Logo existe pelo menos uma raiz no intervalo
.\n
(positivo) e
(negativo). Logo existe pelo menos uma raiz em
.\n
(negativo) e
(positivo). Logo existe pelo menos uma raiz em
.\n- Conclusão provisória: há pelo menos três raízes reais (uma negativa, duas positivas).\n\nAgora precisamos garantir que não existem mais do que três raízes. Para isso uso derivadas rápidas:\n
A equação
é
, tem exatamente uma solução porque
é estritamente crescente. Assim
muda de sinal no máximo uma vez, o que implica que
pode ter no máximo duas raízes e, portanto,
pode ter no máximo três raízes reais. Como já encontramos três mudanças de sinal, a função tem exatamente três raízes reais. (Resumo: número de raízes reais =
.)
Passo 3
Escolha do intervalo para localizar a menor raiz positiva: das observações acima a menor raiz positiva está em
. Farei uma bracketing inicial mais estreita usando alguns pontos: calculei
e
, depois refinei para ter um intervalo curto que contenha a raiz:\n
pois
e
. Esse será o intervalo de partida para bissecção e posição falsa; para secante uso as duas extremidades; para Newton uso um chute inicial bem posicionado, por exemplo
.\n\nCritério de parada para os métodos: queremos a menor raiz positiva correta até a quarta casa decimal. Para garantir que a raiz arredondada está correta, paro quando a diferença entre duas aproximações consecutivas for menor que
(meio último dígito na 4ª casa), ou quando o intervalo do método de bracketing tiver comprimento menor que
.
Passo 4
O método da bissecção exige um intervalo
com
. A cada iteração tomamos
e substituímos o extremo cujo valor tem mesmo sinal que
por
. Convergência: linear, garante convergência e reduz o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração. Fórmula:
.\n\nAplicação prática (começando em
) — vou mostrar as iterações necessárias até o comprimento do intervalo <
(serão 9 iterações a partir do intervalo inicial de comprimento
):\n1)
⇒ troco
.\n2)
⇒ troco
.\n3)
⇒ troco
.\n4)
⇒ troco
.\n5)
⇒ troco
.\n6)
⇒ troco
.\n7)
⇒ troco
.\n8)
⇒ troco
.\n9)
⇒ troco
.\nApós a 9ª iteração o comprimento do intervalo
fica menor que
. Tomando o ponto médio final ou uma aproximação segura obtemos a raiz aproximada por bissecção\n
O método garantiu o sinal correto e deu uma aproximação robusta e segura.
Passo 5
Ideia: em vez do ponto médio, faz-se a interpolação linear entre
e
e toma-se a interseção com o eixo
. Fórmula:
Prós: conserva a propriedade de bracketing (garante que há mudança de sinal) e costuma convergir mais rápido que a bissecção em funções quase lineares no intervalo. Contras: pode travar (convergência muito lenta) se um extremo ficar sempre sendo escolhido sem mover-se muito.\n\nAplicação inicial, com
e os valores aproximados
:\n- Iteração 1:
(resultado da interpolação) e
⇒ substitui
.\n- Iteração 2: recalcula
usando
novos →
com
muito próximo de zero (da ordem de
).\nEm poucas iterações a posição falsa chega à mesma raiz dita pelos outros métodos:\n
Observe que a regula falsi, aqui, foi eficiente porque a função não se comportou de maneira muito curva no intervalo inicial; em outros problemas ela pode ser lenta.
Passo 6
A secante aproxima a derivada por uma diferença finita, evitando calcular
. Fórmula (com pontos
e
):
Convergência: superlinear (ordem aproximadamente
, a razão áurea), geralmente mais rápida que bissecção e regula falsi, e não precisa de derivada (pró: não precisa
; contra: não conserva bracketing — pode divergir se os chutes iniciais forem ruins).\n\nAplicação prática com
e os
iniciais já dados:\n- Iteração 1: gera
(similar à posição falsa inicial).\n- Iterações subsequentes: em 3–4 iterações obtém-se\n
com a diferença entre iterações menor que
. Em resumo: secante chega rápido à raiz sem usar derivada.
Passo 7
Fórmula do método de Newton:
Requisitos: precisa de
e de um chute inicial relativamente próximo da raiz; quando converge a taxa é quadrática (muito rápida). Aqui
.\n\nAplicação com chute
:\n- Calculei
e
. Então\n
\n- Segunda iteração:
,
, então\n
\n- Terceira iteração dá uma correção da ordem de
, portanto já satisfaz o critério de
.\n\nResultado por Newton:\n
Passo 8
Comparando os quatro métodos aplicados ao nosso problema (achar a menor raiz positiva de
):\n- Bissecção: sempre converge (robusto), mas converge linearmente — é o mais lento entre os quatro. Excelente quando tudo que você tem é mudança de sinal e quer garantia.\n- Posição falsa (regula falsi): também garante bracketing e normalmente converge mais rápido que bissecção em funções quase lineares, mas pode ficar lenta se um extremo não se mover.\n- Secante: geralmente mais rápido que bissecção e regula falsi (convergência superlinear) e não precisa de derivada — ótima escolha quando
é caro ou desconhecido. Risco: pode perder o bracketing (não é garantido convergir se os chutes forem ruins).\n- Newton–Raphson: converge muito rápido (quadraticamente) quando o chute inicial está próximo e
é fácil de calcular. É tipicamente o melhor em termos de rapidez, desde que você tenha uma boa estimativa inicial e
não se anule na vizinhança.\n\nPara a função dada:\n- Como
é fácil de calcular (
) e temos um bom chute (
ou o próprio centro do intervalo de bracketing), o método de Newton foi o mais eficiente (poucas iterações para chegar à precisão desejada).\n- A secante também foi eficiente (não exigiu
) e convergiu rapidamente.\n- A posição falsa foi razoavelmente rápida aqui porque a função não é muito curvada no intervalo inicial.\n- A bissecção funcionou bem e foi a mais segura, mas a mais lenta.\n\nComo escolher o método na prática?\n- Se você precisa de garantia de convergência e só tem mudança de sinal, use bissecção (ou regula falsi).\n- Se você tem
e um chute próximo, use Newton (rápido).\n- Se não tem
e quer um método rápido, use secante (mas tenha cuidado com chutes ruins).\n- Considere custo por iteração (avaliar
vs avaliar
) e necessidade de robustez versus velocidade.\n\nDica prática para provas: se o enunciado dá um intervalo com mudança de sinal e pede uma raiz com algumas casas decimais, comece por bissecção ou posição falsa para encontrar um bom chute e depois troque para Newton ou secante para acelerar a convergência.