Usando o método de Newton-Raphson, com erro inferior a
, determinar uma raiz das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede: "Usando o método de Newton-Raphson, com erro inferior a
, determinar uma raiz da equação
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A equação é transcendental (envolve a função trigonométrica
). - A função
não está definida em , (há assíntotas nesses pontos). - O problema exige o uso explícito do método de Newton-Raphson e uma aproximação com erro absoluto menor que
. - Podemos trabalhar com a função auxiliar
cuja raiz (zeramento) corresponde às soluções de
.
Passo 2
O método de Newton-Raphson (ou Newton) é uma técnica iterativa para aproximar raízes de uma função
. A iteração padrão é:
Aqui:
-
é a aproximação atual da raiz; -
é a nova aproximação; -
é a derivada de em .
A ideia é linearizarem torno de (reta tangente) e usar a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação. Para aplicar o método precisamos de e .
Passo 3
Vamos escrever
e sua derivada explicitamente para o nosso problema. Tomando
a derivada é
Aqui:
-
é a tangente de ; -
é , logo .
Então a fórmula de Newton fica
Sempre que aplicarmos essa fórmula devemos garantir que
(para que
esteja definido) e evitar pontos próximos das assíntotas de
.
Passo 4
Escolha do chute inicial
. Não foi imposto pelo enunciado um chute específico, então vou escolher um chute simples e razoavelmente próximo de uma raiz:
. Motivos:
- Valores pequenos mantêm
bem comportada (distante das assíntotas). - Newton é rápido quando o chute está razoavelmente perto.
Observação: o enunciado pede “uma raiz”, não necessariamente a não nula, portanto vamos encontrar uma raiz que o processo nos leve (veremos que converge para).
Passo 5
Agora aplicamos as iterações. Primeiro calculamos os valores auxiliares em
.
Calcule
e
:
Usando
(valor conhecido / tabela),
Agora
Usando
tem-se
e portanto
Passo 6
Aplicando a fórmula de Newton para obter
:
Portanto
Passo 7
Próxima iteração: calculamos
e
. Como
é muito pequeno, podemos usar aproximações de pequeno ângulo para
e
, ou simplesmente usar que para
pequeno
e
. Aqui basta a aproximação linear com termos de ordem
muito pequenos.
Usando
(erro insignificante nos dígitos que precisamos),
E
(já que
é da ordem de
).
Passo 8
Aplicando Newton para obter
:
Assim
Passo 9
Avaliação do critério de erro: o problema pede erro inferior a
. Podemos verificar:
- A diferença entre iterações é
— mas precisamos de . - Mais diretamente, o valor absoluto de
é . Como a raiz exata é plausível (veremos abaixo), esse valor mostra que nossa aproximação está a menos de da raiz exata.
Também podemos calcular: para tão pequeno , de ordem , muito menor que . Portanto a aproximação já satisfaz a tolerância desejada.
Passo 10
Interpretação final: a iteração convergiu rapidamente para um valor extremamente próximo de
. Podemos verificar diretamente que
é uma raiz exata da equação original:
logo
. O processo de Newton com
convergiu para essa raiz
em duas iterações (até a precisão exigida).