1. A função f(x)=tg pi x-6 tem um zero em (1 / pi) arctg 6 approx 0,447431543. Sejam p0=0 e p1=0,48. Faça dez interações de cada um dos métodos a seguir para encontrar a aproximação dessa raiz. Qual é o método mais eficiente e por quê?
    a. Método da Bissecção,
    b. Método da Falsa Posição,
    c. Método da Secante.

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos a função
f(x)=tan(pi x)-6
e ela tem uma raiz exata em
1piarctan(6)approx0,447431543,
O que a gente vai fazer é pegar o intervalo inicial e aplicar três métodos numéricos (bissecção, falsa posição e secante), cada um com 10 iterações. No final, comparamos qual aproximou mais rápido. Para isso precisamos:
  • Saber o sinal de nos extremos do intervalo.
  • Conhecer a fórmula de atualização de cada método.
  • Calcular numericamente .

Passo 2

Método da Bissecção
  1. Critério: se p=a+b2, , o zero está em p10approx0,44765625 . A cada iteração escolho
vejo o sinal de e troco ou .
2) Começando em ( ) e ( ), aplico:
Iteração k │ aₖ │ bₖ │ pₖ=(aₖ+bₖ)/2 │ f(pₖ)
-----------│--------│--------│---------------│----------
1 │ 0 │ 0,48 │ 0,240000 │ –5,065
2 │ 0,24 │ 0,48 │ 0,360000 │ –3,921
3 │ 0,36 │ 0,48 │ 0,420000 │ –1,900
4 │ 0,42 │ 0,48 │ 0,450000 │ +0,330
5 │ 0,42 │ 0,45 │ 0,435000 │ –1,183
6 │ 0,435 │ 0,45 │ 0,442500 │ –0,527
7 │ 0,4425 │ 0,45 │ 0,446250 │ –0,151
8 │ 0,4463 │ 0,45 │ 0,448125 │ +0,086
9 │ 0,4463 │ 0,4481 │ 0,447188 │ –0,037
10 │ 0,447188│0,448125│0,447656 │ +0,027
No fim da 10ª iteração ficamos com

Passo 3

Método da Falsa Posição
  1. Fórmula de iteração num intervalo p = a,f(b)-b,f(a)f(b)-f(a) com p10approx0,4380 :
  1. Mantemos sempre o ponto de mesmo sinal com .
Iteração k │ aₖ │ bₖ │ pₖ │ f(pₖ)
----------│---------│--------│---------------│---------
1 │ 0 │ 0,48 │ 0,1813 │ –5,357
2 │ 0,1813 │ 0,48 │ 0,2863 │ –4,736
3 │ 0,2863 │ 0,48 │ 0,3493 │ –4,016
4 │ 0,3493 │ 0,48 │ 0,3871 │ –3,003
5 │ 0,3871 │ 0,48 │ 0,4088 │ –2,533
6 │ 0,4088 │ 0,48 │ 0,4236 │ –1,492
7 │ 0,4236 │ 0,48 │ 0,4309 │ –0,838
8 │ 0,4309 │ 0,48 │ 0,4348 │ –0,455
9 │ 0,4348 │ 0,48 │ 0,4371 │ –0,283
10 │ 0,4371 │ 0,48 │ 0,4380 │ –0,197
Depois de 10 iterações dá

Passo 4

Método da Secante
  1. Fórmula com dois pontos pn = pn-1 - f(pn-1),pn-1-pn-2f(pn-1)-f(pn-2) :
  1. Não há garantia de manter raiz no intervalo.
Começando em , :
Iteração k │ pₖ │ f(pₖ)
----------│-------------│--------
2 │ 0,1816 │ –5,357
3 │ 0,2865 │ –4,736
4 │ 1,0870 │ –5,718
5 │ –3,5740 │ –1,576
6 │ –5,3470 │ –0,935
7 │ –3,9120 │ –2,104
8 │ –2,8530 │ –3,739
9 │ –2,1660 │ –5,557
10 │ –1,7190 │ –5,992
Aqui a secante saiu todo do intervalo de interesse e não aproximou a raiz real em 10 iterações.

Passo 5

Comparando as aproximações após 10 iterações:
  • Bissecção: (erro ≈ ).
  • Falsa posição: (erro ≈ ).
  • Secante: divergiu, não chegou perto.
A Bissecção foi a mais eficiente aqui porque cada passo reduz o tamanho do intervalo pela metade, mantendo sempre a raiz nele. A Falsa Posição “puxa” menos igualmente e converge mais devagar. A Secante, sem garantias de intervalo, acabou fugindo do alvo.

Resposta

O método da Bissecção foi o mais eficiente: em 10 iterações chegou a (erro ≈ ), enquanto a Falsa Posição ficou em (erro ≈ ) e a Secante divergiu.

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