- A função
tem um zero em
. Sejam
e
. Faça dez interações de cada um dos métodos a seguir para encontrar a aproximação dessa raiz. Qual é o método mais eficiente e por quê?
a. Método da Bissecção,
b. Método da Falsa Posição,
c. Método da Secante.
a. Método da Bissecção,
b. Método da Falsa Posição,
c. Método da Secante.
Passo 1
Beleza, a questão diz que temos a função
e ela tem uma raiz exata em
O que a gente vai fazer é pegar o intervalo inicial
e aplicar três métodos numéricos (bissecção, falsa posição e secante), cada um com 10 iterações. No final, comparamos qual aproximou mais rápido. Para isso precisamos:
- Saber o sinal de
nos extremos do intervalo. - Conhecer a fórmula de atualização de cada método.
- Calcular numericamente
.
Passo 2
Método da Bissecção
- Critério: se
, o zero está em . A cada iteração escolho
vejo o sinal de
e troco
ou
.
2) Começando em (
) e
(
), aplico:
2) Começando em
Iteração k │ aₖ │ bₖ │ pₖ=(aₖ+bₖ)/2 │ f(pₖ)
-----------│--------│--------│---------------│----------
1 │ 0 │ 0,48 │ 0,240000 │ –5,065
2 │ 0,24 │ 0,48 │ 0,360000 │ –3,921
3 │ 0,36 │ 0,48 │ 0,420000 │ –1,900
4 │ 0,42 │ 0,48 │ 0,450000 │ +0,330
5 │ 0,42 │ 0,45 │ 0,435000 │ –1,183
6 │ 0,435 │ 0,45 │ 0,442500 │ –0,527
7 │ 0,4425 │ 0,45 │ 0,446250 │ –0,151
8 │ 0,4463 │ 0,45 │ 0,448125 │ +0,086
9 │ 0,4463 │ 0,4481 │ 0,447188 │ –0,037
10 │ 0,447188│0,448125│0,447656 │ +0,027
-----------│--------│--------│---------------│----------
1 │ 0 │ 0,48 │ 0,240000 │ –5,065
2 │ 0,24 │ 0,48 │ 0,360000 │ –3,921
3 │ 0,36 │ 0,48 │ 0,420000 │ –1,900
4 │ 0,42 │ 0,48 │ 0,450000 │ +0,330
5 │ 0,42 │ 0,45 │ 0,435000 │ –1,183
6 │ 0,435 │ 0,45 │ 0,442500 │ –0,527
7 │ 0,4425 │ 0,45 │ 0,446250 │ –0,151
8 │ 0,4463 │ 0,45 │ 0,448125 │ +0,086
9 │ 0,4463 │ 0,4481 │ 0,447188 │ –0,037
10 │ 0,447188│0,448125│0,447656 │ +0,027
No fim da 10ª iteração ficamos com
Passo 3
Método da Falsa Posição
- Fórmula de iteração num intervalo
com :
- Mantemos sempre o ponto de mesmo sinal com
.
Iteração k │ aₖ │ bₖ │ pₖ │ f(pₖ)
----------│---------│--------│---------------│---------
1 │ 0 │ 0,48 │ 0,1813 │ –5,357
2 │ 0,1813 │ 0,48 │ 0,2863 │ –4,736
3 │ 0,2863 │ 0,48 │ 0,3493 │ –4,016
4 │ 0,3493 │ 0,48 │ 0,3871 │ –3,003
5 │ 0,3871 │ 0,48 │ 0,4088 │ –2,533
6 │ 0,4088 │ 0,48 │ 0,4236 │ –1,492
7 │ 0,4236 │ 0,48 │ 0,4309 │ –0,838
8 │ 0,4309 │ 0,48 │ 0,4348 │ –0,455
9 │ 0,4348 │ 0,48 │ 0,4371 │ –0,283
10 │ 0,4371 │ 0,48 │ 0,4380 │ –0,197
----------│---------│--------│---------------│---------
1 │ 0 │ 0,48 │ 0,1813 │ –5,357
2 │ 0,1813 │ 0,48 │ 0,2863 │ –4,736
3 │ 0,2863 │ 0,48 │ 0,3493 │ –4,016
4 │ 0,3493 │ 0,48 │ 0,3871 │ –3,003
5 │ 0,3871 │ 0,48 │ 0,4088 │ –2,533
6 │ 0,4088 │ 0,48 │ 0,4236 │ –1,492
7 │ 0,4236 │ 0,48 │ 0,4309 │ –0,838
8 │ 0,4309 │ 0,48 │ 0,4348 │ –0,455
9 │ 0,4348 │ 0,48 │ 0,4371 │ –0,283
10 │ 0,4371 │ 0,48 │ 0,4380 │ –0,197
Depois de 10 iterações dá
Passo 4
Método da Secante
- Fórmula com dois pontos
:
- Não há garantia de manter raiz no intervalo.
Começando em
,
:
Iteração k │ pₖ │ f(pₖ)
----------│-------------│--------
2 │ 0,1816 │ –5,357
3 │ 0,2865 │ –4,736
4 │ 1,0870 │ –5,718
5 │ –3,5740 │ –1,576
6 │ –5,3470 │ –0,935
7 │ –3,9120 │ –2,104
8 │ –2,8530 │ –3,739
9 │ –2,1660 │ –5,557
10 │ –1,7190 │ –5,992
----------│-------------│--------
2 │ 0,1816 │ –5,357
3 │ 0,2865 │ –4,736
4 │ 1,0870 │ –5,718
5 │ –3,5740 │ –1,576
6 │ –5,3470 │ –0,935
7 │ –3,9120 │ –2,104
8 │ –2,8530 │ –3,739
9 │ –2,1660 │ –5,557
10 │ –1,7190 │ –5,992
Aqui a secante saiu todo do intervalo de interesse e não aproximou a raiz real em 10 iterações.
Passo 5
Comparando as aproximações após 10 iterações:
- Bissecção:
(erro ≈ ). - Falsa posição:
(erro ≈ ). - Secante: divergiu, não chegou perto.
A Bissecção foi a mais eficiente aqui porque cada passo reduz o tamanho do intervalo pela metade, mantendo sempre a raiz nele. A Falsa Posição “puxa” menos igualmente e converge mais devagar. A Secante, sem garantias de intervalo, acabou fugindo do alvo.
Resposta
O método da Bissecção foi o mais eficiente: em 10 iterações chegou a
(erro ≈
), enquanto a Falsa Posição ficou em
(erro ≈
) e a Secante divergiu.