- A equação de iteração do método da Secante pode ser escrita na forma mais simples
Explique por que, em geral, essa equação de iteração tende a ser menos precisa que a do Algoritmo 2.4.
Passo 1
Beleza! O enunciado nos dá a fórmula da iteração pelo método da Secante:
Isso faz parte de Métodos Numéricos para encontrar raízes de uma função. Para comparar com o Algoritmo 2.4 (que é a iteração de Newton) a gente vai precisar lembrar a fórmula de Newton e usar expansão em série de Taylor para ver o erro em cada método.
Passo 2
Primeiro, a iteração de Newton (Algoritmo 2.4) é
Repare que Newton usa a derivada exata
. Já o método da Secante “rouba” essa derivada aproximando-a por diferença finita:
e, ao substituir essa aproximação em Newton, a gente chega àquela fórmula da Secante do enunciado.
Passo 3
Agora, para ver por que isso dá menos precisão, vamos olhar o erro dessa aproximação de derivada. Suponha
e faça a expansão de Taylor de
em torno de
:
Então a diferença finita vira
Ou seja, a “derivada aproximada” tem um erro de ordem
.
No método de Newton, o erro de iteração local cai como
(convergência quadrática).
No método da Secante, por estudar mais, mostra-se que o erro cai como com
(convergência superlinear, mas não quadrática).
No método da Secante, por estudar mais, mostra-se que o erro cai como
Passo 4
Além disso, o método da Secante envolve a subtração
que pode causar cancelamento de algarismos e amplificar erros de arredondamento.
Por tudo isso—uso de derivada aproximada (erro maior) e maior sensibilidade a cancelamentos—o método da Secante tende a ser menos preciso (e converge mais devagar) que o método de Newton (Algoritmo 2.4).
Resposta
Em geral a fórmula da Secante é menos precisa porque ela substitui a derivada exata
por uma diferença finita que tem erro de ordem
, resultando numa convergência de ordem ≈1.618, enquanto o método de Newton, com derivada exata, tem convergência quadrática (ordem 2) e, portanto, é mais preciso a cada iteração.