1. A equação de iteração do método da Secante pode ser escrita na forma mais simples
pn=f(pn-1) pn-2-f(pn-2) pn-1f(pn-1)-f(pn-2)
Explique por que, em geral, essa equação de iteração tende a ser menos precisa que a do Algoritmo 2.4.

Passo 1

Beleza! O enunciado nos dá a fórmula da iteração pelo método da Secante:
pn=f(pn-1),pn-2-f(pn-2),pn-1f(pn-1)-f(pn-2),
Isso faz parte de Métodos Numéricos para encontrar raízes de uma função. Para comparar com o Algoritmo 2.4 (que é a iteração de Newton) a gente vai precisar lembrar a fórmula de Newton e usar expansão em série de Taylor para ver o erro em cada método.

Passo 2

Primeiro, a iteração de Newton (Algoritmo 2.4) é
pn^(N) = pn-1 - f(pn-1)f'(pn-1),
Repare que Newton usa a derivada exata f'(pn-1) approx f(pn-1) - f(pn-2)pn-1 - pn-2,, . Já o método da Secante “rouba” essa derivada aproximando-a por diferença finita:
e, ao substituir essa aproximação em Newton, a gente chega àquela fórmula da Secante do enunciado.

Passo 3

Agora, para ver por que isso dá menos precisão, vamos olhar o erro dessa aproximação de derivada. Suponha
h = pn-1 - pn-2,
e faça a expansão de Taylor de f(pn-2) = f(pn-1 - h) = f(pn-1) - h,f'(pn-1) + h^22f''(xi)(xi;entre pn-2 e pn-1) em torno de f(pn-1) - f(pn-2)h = f'(pn-1) - h2f''(xi), :
Então a diferença finita vira
Ou seja, a “derivada aproximada” tem um erro de ordem .
No método de Newton, o erro de iteração local cai como (convergência quadrática).
No método da Secante, por estudar mais, mostra-se que o erro cai como com (convergência superlinear, mas não quadrática).

Passo 4

Além disso, o método da Secante envolve a subtração
f(pn-1) - f(pn-2),
que pode causar cancelamento de algarismos e amplificar erros de arredondamento.
Por tudo isso—uso de derivada aproximada (erro maior) e maior sensibilidade a cancelamentos—o método da Secante tende a ser menos preciso (e converge mais devagar) que o método de Newton (Algoritmo 2.4).

Resposta

Em geral a fórmula da Secante é menos precisa porque ela substitui a derivada exata por uma diferença finita que tem erro de ordem , resultando numa convergência de ordem ≈1.618, enquanto o método de Newton, com derivada exata, tem convergência quadrática (ordem 2) e, portanto, é mais preciso a cada iteração.

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