1a. questão (30 pontos) Resolva o seguinte sistema linear pelo método de Gauss-Jacobi com \mathrm{x}_{0}=1,5; 1, 8 ; 0,3 e erro <0,1
\begin{aligned} & 7 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}=7 \\\ & 3 x_{1}-4 x_{2}+x_{3}=-1 \\\ & x_{1}+6 x_{2}+7 x_{3}=2 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver pelo método de Gauss–Jacobi o sistema\r
\begin{cases} 7x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=7,\\\\ 3x_{1}-4x_{2}+x_{3}=-1,\\\ x_{1}+6x_{2}+7x_{3}=2, \end{cases}\r
usando o chute inicial \r
\,x^{(0)}=(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},x_{3}^{(0)})=(1,5;1,8;0,3)\r
e critério de parada \displaystyle\max_{i}|x_{i}^{(k)}-x_{i}^{(k-1)}|<0,1.

Passo 2

Isolamos cada x_i em função dos outros (Jacobi):\r
x_{1}=\frac{1}{7}\bigl(7-3x_{2}-2x_{3}\bigr), \quad x_{2}=\frac{1}{4}\bigl(1+3x_{1}+x_{3}\bigr), \quad x_{3}=\frac{1}{7}\bigl(2-x_{1}-6x_{2}\bigr).

Passo 3

A cada iteração k calculamos\r
x_{1}^{(k)}=\tfrac{1}{7}\bigl(7-3\,x_{2}^{(k-1)}-2\,x_{3}^{(k-1)}\bigr), \quad x_{2}^{(k)}=\tfrac{1}{4}\bigl(1+3\,x_{1}^{(k-1)}+x_{3}^{(k-1)}\bigr), \quad x_{3}^{(k)}=\tfrac{1}{7}\bigl(2-x_{1}^{(k-1)}-6\,x_{2}^{(k-1)}\bigr),\r
e o erro em k é \r
\displaystyle e^{(k)}=\max_{i}|x_{i}^{(k)}-x_{i}^{(k-1)}|.

Passo 4

Montando a evoluçao até o critério ser satisfeito, obtemos\r
\begin{array}{c|ccc|c} k & x_{1}^{(k)} & x_{2}^{(k)} & x_{3}^{(k)} & e^{(k)}\\hline 0 & 1,5 & 1,8 & 0,3 & - \\\\ 1 & 0,142857 & 1,450000 & -1,471429& 1,357143\\\\ 2 & 0,799000 & -0,010714 & -0,977551& 0,656143\\\\ 3 & 1,283892 & 0,604862 & 0,180755 & 0,484892\\\\ 4 & 0,688415 & 1,258108 & -0,416152& 0,595477\\\\ 5 & 0,579712 & 0,662273 & -0,891009& 0,108703\\\\ 6 & 0,970743 & 0,462032 & -0,364764& 0,391031\\\\ 7 & 0,906205 & 0,886867 & -0,249000& 0,424835\\\\ 8 & 0,691057 & 0,867404 & -0,603915& 0,215148\\\\ 9 & 0,800803 & 0,617314 & -0,556497& 0,250089\\\\ 10& 0,894436 & 0,711478 & -0,357813& 0,198684\\\\ 11& 0,797313 & 0,831374 & -0,451900& 0,119896\\\\ 12& 0,772811 & 0,735010 & -0,540794& 0,096364 \end{array}\r
Em k=12 temos e^{(12)}\approx0,096364<0,1, então paramos aqui.

Resposta

A aproximação final pelo método de Gauss–Jacobi, com erro menor que 0,1, é \r
(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\approx(0,772811;\;0,735010;\;-0,540794).

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