Analise os sistemas lineares abaixo com relação ao número de soluções, usando o método da Eliminação de Gauss (trabalhe com três casas decimais):
\left\{\begin{aligned} 3 \mathrm{x}_{1}-2 \mathrm{x}_{2}+5 \mathrm{x}_{3}+\mathrm{x}_{4} & =7 \\\\ -6 \mathrm{x}_{1}+4 \mathrm{x}_{2}-8 \mathrm{x}_{3}+\mathrm{x}_{4} & =-9 \\\\ 9 \mathrm{x}_{1}-6 \mathrm{x}_{2}+19 \mathrm{x}_{3}+\mathrm{x}_{4} & =23 \\\\ 6 \mathrm{x}_{1}-4 \mathrm{x}_{2}-6 \mathrm{x}_{3}+15 \mathrm{x}_{4} & =11\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em quatro incógnitas \mathrm{x}_{1},\mathrm{x}_{2},\mathrm{x}_{3},\mathrm{x}_{4} e quatro equações. Vamos usar o método da Eliminação de Gauss para triangularizar a matriz aumentada e descobrir o número de soluções (trabalhando com três casas decimais).

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada \left[A\mid b\right] e eliminamos \mathrm{x}_{1} das equações 2, 3 e 4 usando operações de linha:
\begin{pmatrix} 3 & -2 & 5 & 1 & 7\\\\ -6 & 4 & -8 & 1 & -9\\\\ 9 & -6 & 19 & 1 & 23\\\\ 6 & -4 & -6 & 15 & 11 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\,L_{2}\!+\!2L_{1},\;L_{3}\!-\!3L_{1},\;L_{4}\!-\!2L_{1}\,}\; \begin{pmatrix} 3 & -2 & 5 & 1 & 7\\\\ 0 & 0 & 2 & 3 & 5\\\\ 0 & 0 & 4 & -2 & 2\\\\ 0 & 0 & -16& 13 & -3 \end{pmatrix}

Passo 3

Agora usamos o pivô da linha 2 (coluna 3) para zerar as entradas abaixo dele:
\begin{pmatrix} 3 & -2 & 5 & 1 & 7\\\\ 0 & 0 & 2 & 3 & 5\\\\ 0 & 0 & 4 & -2 & 2\\\\ 0 & 0 & -16& 13 & -3 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\,L_{3}-2L_{2},\;L_{4}+8L_{2}\,}\; \begin{pmatrix} 3 & -2 & 5 & 1 & 7\\\\ 0 & 0 & 2 & 3 & 5\\\\ 0 & 0 & 0 & -8 & -8\\\\ 0 & 0 & 0 & 37 & 37 \end{pmatrix}

Passo 4

Por fim, usamos o pivô da linha 3 (coluna 4) para zerar a entrada abaixo dele:
\begin{pmatrix} 3 & -2 & 5 & 1 & 7\\\\ 0 & 0 & 2 & 3 & 5\\\\ 0 & 0 & 0 & -8 & -8\\\\ 0 & 0 & 0 & 37 & 37 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\,L_{3}\!/\!(-8),\;L_{4}-37\,L_{3}\,}\; \begin{pmatrix} 3 & -2 & 5 & 1 & 7\\\\ 0 & 0 & 2 & 3 & 5\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Passo 5

Agora identificamos pivôs nas colunas 1, 3 e 4. A coluna 2 não tem pivô, logo \mathrm{x}_{2} é variável livre, digamos \mathrm{x}_{2}=t.
Da linha 3:
\mathrm{x}_{4}=1,000.
Da linha 2:
2\,\mathrm{x}_{3}+3\,\mathrm{x}_{4}=5 \quad\Longrightarrow\quad 2\,\mathrm{x}_{3}+3\cdot1=5 \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{x}_{3}=1,000.
Da linha 1:
3\,\mathrm{x}_{1}-2\,\mathrm{x}_{2}+5\,\mathrm{x}_{3}+1\,\mathrm{x}_{4}=7 \quad\Longrightarrow\quad 3\,\mathrm{x}_{1}-2\,t+5\cdot1+1\cdot1=7
3\,\mathrm{x}_{1}-2\,t=1 \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{x}_{1}=\frac{1+2\,t}{3}\approx0{,}333+0{,}667\,t.

Resposta

O sistema tem infinitas soluções, dado por
\mathrm{x}_{1}=0{,}333+0{,}667\,t,\quad \mathrm{x}_{2}=t,\quad \mathrm{x}_{3}=1{,}000,\quad \mathrm{x}_{4}=1{,}000,
para qualquer t\in\mathbb{R}.

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