Ajuste os pontos da tabela abaixo a uma equação da forma:
g(x)=a_{1} g_{1}(x)+a_{2} g_{2}(x)+a_{3} g_{3}(x)
em que, g_{1}(x)=2 ; g_{2}(x)=2 x ; g_{3}(x)=2 x^{3}.
x_{i} -1 -0,5 0 0,5 1
f\left(x_{i}\right) -1,9 0,8 2,1 3,2 5,9

Passo 1

O enunciado dá cinco pontos (x_i,f(x_i)) e pede para ajustá-los à forma
g(x)=a_{1}g_{1}(x)+a_{2}g_{2}(x)+a_{3}g_{3}(x)
com g_{1}(x)=2, g_{2}(x)=2x, g_{3}(x)=2x^{3}. Como há mais pontos que parâmetros, usamos mínimos quadrados e montamos as equações normais
(G^TG)\,\mathbf{a}=G^T\mathbf{f},
onde \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)^T.

Passo 2

Calculamos as somas necessárias para G^TG. Note que
\sum x_i=-1-0{,}5+0+0{,}5+1=0,
\sum x_i^2=1+0{,}25+0+0{,}25+1=2{,}5,
\sum x_i^3=0,
\sum x_i^4=1+0{,}0625+0+0{,}0625+1=2{,}125,
\sum x_i^6=1+0{,}015625+0+0{,}015625+1=2{,}03125.
As entradas de G^TG são
S_{11}=\sum(2)^2=20,\quad S_{12}=\sum2\cdot2x_i=4\sum x_i=0,\quad S_{13}=4\sum x_i^3=0,
S_{22}=\sum(2x_i)^2=4\sum x_i^2=10,\quad S_{23}=\sum4x_i^4=8{,}5,\quad S_{33}=\sum4x_i^6=8{,}125.
Logo
G^TG=\begin{pmatrix} 20&0&0\\\\ 0&10&8{,}5\\\\ 0&8{,}5&8{,}125 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora G^T\mathbf{f} tem componentes
b_1=\sum2\,f_i=2\sum f_i=2\cdot10{,}1=20{,}2,
b_2=\sum2x_i\,f_i=2\sum x_i f_i=2\cdot9=18,
b_3=\sum2x_i^3\,f_i=2\sum x_i^3 f_i=2\cdot8{,}1=16{,}2.

Passo 4

Resolvendo
\begin{pmatrix} 20&0&0\\\\ 0&10&8{,}5\\\\ 0&8{,}5&8{,}125 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_1\a_2\a_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}20{,}2\\\ 18\\\ 16{,}2\end{pmatrix},
da primeira linha vem
a_1=\frac{20{,}2}{20}=1{,}01.
Para a_2,a_3 o determinante é
D=10\cdot8{,}125-8{,}5^2=9.
Então
a_2=\frac{8{,}125\cdot18-8{,}5\cdot16{,}2}{9}=0{,}95, \quad a_3=\frac{10\cdot16{,}2-8{,}5\cdot18}{9}=1.

Passo 5

Substituindo em g(x)=a_1\cdot2+a_2\cdot2x+a_3\cdot2x^3, obtemos
g(x) =1{,}01\cdot2+0{,}95\cdot2x+1\cdot2x^3 =2{,}02+1{,}90\,x+2\,x^3.

Resposta

g(x)=2{,}02 + 1{,}90\,x + 2\,x^3.

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