2a. questão (30 pontos) Resolva o sistema de equações lineares abaixo usando o método da Eliminação de Gauss.
\begin{aligned} & x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=8 \\\ & 2 x_{1}-4 x_{2}+2 x_{3}=-4 \\\ & -x_{1}+x_{2}+5 x_{3}=-4 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x_{1} + 2x_{2} - x_{3} = 8,\\\\ 2x_{1} - 4x_{2} + 2x_{3} = -4,\\\\ -\,x_{1} + x_{2} + 5x_{3} = -4 \end{cases}
usando o método de Eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para chegar à forma escalonada.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 8\\\\ 2 & -4 & 2 & -4\\\\ -1 & 1 & 5 & -4 \end{array}\right]

Passo 3

Eliminamos x_{1} nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô:
  • L_{2}\gets L_{2}-2L_{1}
  • L_{3}\gets L_{3}+L_{1}
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 8\\\\ 0 & -8 & 4 & -20\\\\ 0 & 3 & 4 & 4 \end{array}\right]

Passo 4

Normalizamos a linha 2 para ter pivô 1 em x_{2}:
L_{2}\gets -\tfrac{1}{8}L_{2} \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 8\\\\ 0 & 1 & -\tfrac12 & \tfrac52\\\\ 0 & 3 & 4 & 4 \end{array}\right]

Passo 5

Eliminamos x_{2} nas linhas 1 e 3 usando a nova linha 2:
  • L_{1}\gets L_{1}-2L_{2}
  • L_{3}\gets L_{3}-3L_{2}
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 3\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{2}\\\\ 0 & 0 & \tfrac{11}{2} & -\tfrac{7}{2} \end{array}\right]

Passo 6

Da terceira linha, obtemos x_{3}:
\tfrac{11}{2}\,x_{3} = -\tfrac{7}{2} \quad\Longrightarrow\quad x_{3} = \frac{-\tfrac{7}{2}}{\tfrac{11}{2}} = -\frac{7}{11}.

Passo 7

Substituindo x_{3} na segunda linha para achar x_{2}:
x_{2} - \tfrac12\,x_{3} = \tfrac52 \quad\Longrightarrow\quad x_{2} = \tfrac52 + \tfrac12\Bigl(-\tfrac{7}{11}\Bigr) = \frac{5\cdot 11 - 7}{2\cdot 11} = \frac{48}{22} = \frac{24}{11}.

Passo 8

Da primeira linha ficou x_{1} = 3.

Resposta

(x_{1},\,x_{2},\,x_{3}) = \Bigl(3,\,\tfrac{24}{11},\,-\tfrac{7}{11}\Bigr).

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