3a. questão ( 30 pontos) Resolva o seguinte sistema linear pelo método de Gauss-Seidel com \mathrm{x}^{0}=\{1.0, 1.0,0.7\} e erro < 0,1
\begin{array}{lll} 7 \cdot x_{1} & +3 \cdot x_{2} & +2 \cdot x_{3}=7 \\\\ 3 \cdot x_{1} & -4 \cdot x_{2} & +1 \cdot x_{3}=-1 \\\\ 1 \cdot x_{1} & +6 \cdot x_{2} & +7 \cdot x_{3}=2 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 7x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=7,\\\\ 3x_{1}-4x_{2}+x_{3}=-1,\\\ x_{1}+6x_{2}+7x_{3}=2 \end{cases}
usando o método de Gauss–Seidel com chute inicial
\mathbf{x}^{0}=(1{,}0,\;1{,}0,\;0{,}7)
e critério de parada quando a norma infinita da diferença entre iterações for menor que 0{,}1.

Passo 2

No Gauss–Seidel, isolamos cada variável e atualizamos em sequência usando sempre o valor mais recente:
x_{1}^{(k+1)} =\frac{7-3\,x_{2}^{(k)}-2\,x_{3}^{(k)}}{7}, \quad x_{2}^{(k+1)} =\frac{-1-3\,x_{1}^{(k+1)}-1\,x_{3}^{(k)}}{-4}, \quad x_{3}^{(k+1)} =\frac{2-x_{1}^{(k+1)}-6\,x_{2}^{(k+1)}}{7}.

Passo 3

Iteração k=0\to1, com \mathbf{x}^{(0)}=(1{,}0,1{,}0,0{,}7):
x_{1}^{(1)} =\frac{7-3\cdot1{,}0-2\cdot0{,}7}{7} =\frac{2{,}6}{7}\approx0{,}3714,
x_{2}^{(1)} =\frac{-1-3\cdot0{,}3714-0{,}7}{-4} =\frac{-2{,}8143}{-4}\approx0{,}7036,
x_{3}^{(1)} =\frac{2-0{,}3714-6\cdot0{,}7036}{7} =\frac{-2{,}5928}{7}\approx-0{,}3704.
Logo \mathbf{x}^{(1)}\approx(0{,}3714,0{,}7036,-0{,}3704).

Passo 4

Calculamos a norma infinita da diferença
\|\mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{x}^{(0)}\|_\infty =\max\{|0{,}3714-1{,}0|,\;|0{,}7036-1{,}0|,\;|-0{,}3704-0{,}7|\} =1{,}0704>0{,}1,
então não paramos ainda.

Passo 5

Iteração k=1\to2:
x_{1}^{(2)} =\frac{7-3\cdot0{,}7036-2\cdot(-0{,}3704)}{7} \approx0{,}8043,
x_{2}^{(2)} =\frac{-1-3\cdot0{,}8043-(-0{,}3704)}{-4} \approx0{,}7606,
x_{3}^{(2)} =\frac{2-0{,}8043-6\cdot0{,}7606}{7} \approx-0{,}4811.
Assim \mathbf{x}^{(2)}\approx(0{,}8043,0{,}7606,-0{,}4811).

Passo 6

\|\mathbf{x}^{(2)}-\mathbf{x}^{(1)}\|_\infty =\max\{0{,}8043-0{,}3714,\;0{,}7606-0{,}7036,\;|-0{,}4811-(-0{,}3704)|\} \approx0{,}4329>0{,}1,
ainda maior que 0{,}1.

Passo 7

Iteração k=2\to3:
x_{1}^{(3)} =\frac{7-3\cdot0{,}7606-2\cdot(-0{,}4811)}{7} \approx0{,}8115,
x_{2}^{(3)} =\frac{-1-3\cdot0{,}8115-(-0{,}4811)}{-4} \approx0{,}7383,
x_{3}^{(3)} =\frac{2-0{,}8115-6\cdot0{,}7383}{7} \approx-0{,}4631.
E a norma da diferença
\|\mathbf{x}^{(3)}-\mathbf{x}^{(2)}\|_\infty \approx0{,}0223<0{,}1,
logo atendemos o critério de erro.

Resposta

\displaystyle x_{1}\approx0{,}8115,\quad x_{2}\approx0{,}7383,\quad x_{3}\approx-0{,}4631.

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