1a. questão (3 pontos) Calcule o valor da integral de \int_{1.4}^{3.2} 3 \cdot \operatorname{sen}(x) d x pela regra de 1 / 3 de Simpson Repetida com \mathrm{m}=8.
x_{0}=1,4 x_{5}=2,525
x_{1}=1,625 x_{6}=2,75
x_{2}=1,85 x_{7}=2,975
x_{3}=2,075 x_{8}=3,2
x_{4}=2,3

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de
\int_{1.4}^{3.2}3\sin(x)\,dx
usando a regra composta de Simpson 1/3 com m=8. Vamos precisar calcular o passo h, avaliar f(x_i)=3\sin(x_i) nos nós dados e aplicar a fórmula do método.

Passo 2

O passo é
h=\frac{b-a}{m}=\frac{3.2-1.4}{8}=0.225.
A fórmula composta de Simpson 1/3 é
\int_{a}^{b}f(x)\,dx\approx \frac{h}{3}\Bigl[f_0+f_m+4\sum_{i=1,3,5,7}f_i+2\sum_{i=2,4,6}f_i\Bigr].

Passo 3

Calculamos f_i=3\sin(x_i) para i=0,\dots,8:
\begin{aligned} f_0&=3\sin(1.4)\approx2.9568, &f_1&=3\sin(1.625)\approx2.9953,\\\ f_2&=3\sin(1.85)\approx2.8839, &f_3&=3\sin(2.075)\approx2.6265,\\\ f_4&=3\sin(2.3)\approx2.2371, &f_5&=3\sin(2.525)\approx1.7343,\\\ f_6&=3\sin(2.75)\approx1.1460, &f_7&=3\sin(2.975)\approx0.4977,\\\ f_8&=3\sin(3.2)\approx-0.1764. \end{aligned}

Passo 4

Agora somamos:
\sum_{i=1,3,5,7}f_i=(2.9953+2.6265+1.7343+0.4977)=7.8538,\quad 4\cdot7.8538=31.4152,
\sum_{i=2,4,6}f_i=(2.8839+2.2371+1.1460)=6.2670,\quad 2\cdot6.2670=12.5340,
f_0+f_8=2.9568-0.1764=2.7804,
totalizando
f_0+f_8+4\sum_{\text{impares}}+2\sum_{\text{pares}} =2.7804+31.4152+12.5340=46.7296.
Logo,
\int_{1.4}^{3.2}3\sin(x)\,dx\approx \frac{0.225}{3}\cdot46.7296 =0.075\cdot46.7296=3.50472.

Resposta

\displaystyle 3.5047 (aproximadamente)

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