3a. questão (3 pontos) Dados os pontos:
x 0.2615 0.5234 0.7854
\mathrm{f}(\mathrm{x}) 1.0353 2 2.8284
Obtenha o polinômio interpolador de grau 2 na forma de Lagrange e obtenha uma aproximação para o valor de \mathrm{f}(0.6).

Passo 1

O enunciado nos dá três pontos
x_0=0,2615, f(x_0)=1,0353
x_1=0,5234, f(x_1)=2
x_2=0,7854, f(x_2)=2,8284
e pede o polinômio interpolador de grau 2 na forma de Lagrange e a aproximação de f(0,6). O conteúdo é interpolação polinomial usando a forma de Lagrange.

Passo 2

Escrevemos o polinômio de Lagrange genérico
P_2(x)=\sum_{i=0}^{2}f(x_i)\,L_i(x),
onde
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0 \\\ j\neq i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.

Passo 3

Calculamos os denominadores de cada L_i:
d_0=(x_0-x_1)(x_0-x_2)=(0,2615-0,5234)(0,2615-0,7854)\approx0,1371,
d_1=(x_1-x_0)(x_1-x_2)=(0,5234-0,2615)(0,5234-0,7854)\approx-0,0686,
d_2=(x_2-x_0)(x_2-x_1)=(0,7854-0,2615)(0,7854-0,5234)\approx0,1372.

Passo 4

Substituindo nos L_i e em P_2(x), obtemos
P_2(x)=1,0353\cdot\frac{(x-0,5234)(x-0,7854)}{0,1371} +2\cdot\frac{(x-0,2615)(x-0,7854)}{-0,0686} +2,8284\cdot\frac{(x-0,2615)(x-0,5234)}{0,1372}.

Passo 5

Para x=0,6 calculamos
L_0(0,6)\approx\frac{(0,6-0,5234)(0,6-0,7854)}{0,1371}\approx-0,1036,
L_1(0,6)\approx\frac{(0,6-0,2615)(0,6-0,7854)}{-0,0686}\approx0,9151,
L_2(0,6)\approx\frac{(0,6-0,2615)(0,6-0,5234)}{0,1372}\approx0,1889.
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P_2(0,6)=1,0353\cdot(-0,1036)+2\cdot0,9151+2,8284\cdot0,1889\approx2,2572.

Resposta

A aproximação de \mathrm{f}(0,6) pelo polinômio de Lagrange de grau 2 é aproximadamente 2,2572.

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