Calcule as integrais usando a Quadratura de Gauss com dois pontos:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{3}(x)}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{3}(x)}{1 + x^{2}} \, dx
usando a quadratura de Gauss–Legendre com dois pontos. O conteúdo é transformação de domínio e aplicação da fórmula
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b - a}{2}\sum_{i=1}^{2} w_{i}\,f\bigl(x_{i}\bigr)
onde x_{i} são os nós mapeados de [-1,1] para [a,b] e w_{i} os pesos correspondentes.

Passo 2

Transformamos a variável x\in[0,\frac{\pi}{2}] em t\in[-1,1] via
x = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\,t,
com a=0, b=\tfrac{\pi}{2}. Logo
c = \frac{a+b}{2} = \frac{\pi}{4}, \quad h = \frac{b-a}{2} = \frac{\pi}{4},
e
x(t) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\,t.

Passo 3

Para a quadratura de Gauss de dois pontos em [-1,1] usamos os nós
\displaystyle t_{1}=-\frac{1}{\sqrt{3}},
\displaystyle t_{2}=+\frac{1}{\sqrt{3}}
e os pesos
\displaystyle w_{1}=w_{2}=1.

Passo 4

Calculamos x_{i}=c + h\,t_{i} e depois
\displaystyle f(x)=\frac{\sin^{3}(x)}{1+x^{2}}.
Para t_{1}=-\tfrac{1}{\sqrt{3}}:
x_{1} = \frac{\pi}{4}\Bigl(1 - \tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)\approx 0{,}3321, \quad f(x_{1}) \approx 0{,}03117.
Para t_{2}=+\tfrac{1}{\sqrt{3}}:
x_{2} = \frac{\pi}{4}\Bigl(1 + \tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)\approx 1{,}2383, \quad f(x_{2}) \approx 0{,}3333.

Passo 5

Aplicando a regra de Gauss–Legendre:
I \approx h\bigl[w_{1}f(x_{1}) + w_{2}f(x_{2})\bigr] = \frac{\pi}{4}\bigl(0{,}03117 + 0{,}3333\bigr) \approx 0{,}2863.

Resposta

\displaystyle 0,2863 (aproximação pela quadratura de Gauss com dois pontos)

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