Questão 1: (6.0) Dê uma aproximação para o valor da integral
\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} e^{\cos ^{2}(t)} d t

Através da:

a) Regra do Trapézio (n=4) /
b) Regra 1 / 3 de Simpson ( n=4 )
c) Quadratura de Gauss

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de
\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} e^{\cos^{2}(t)}\,dt
usando (a) a regra do Trapézio composta com n=4, (b) a regra de Simpson 1/3 composta com n=4 e (c) quadratura de Gauss (vamos usar a fórmula de 2 pontos). Para isso precisamos dividir o intervalo \bigl[-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\bigr] em 4 subintervalos de largura h=(b-a)/n=\pi/6, avaliar f(t)=e^{\cos^2(t)} nos nós e aplicar as fórmulas de cada método.

Passo 2

Aplicando a regra do Trapézio composta com n=4:
Os nós são
t_0=-\tfrac{\pi}{3},\; t_1=-\tfrac{\pi}{6},\; t_2=0,\; t_3=\tfrac{\pi}{6},\; t_4=\tfrac{\pi}{3},
com h=\pi/6. Calculamos
f_i=f(t_i)=e^{\cos^2(t_i)},
obtendo aproximadamente
f_0=f_4\approx1,2840,\quad f_1=f_3\approx2,1170,\quad f_2\approx2,7183.
A fórmula do Trapézio composta é
T=\frac{h}{2}\bigl(f_0+2(f_1+f_2+f_3)+f_4\bigr) =\frac{\pi/6}{2}\bigl(1,2840+2\cdot6,9523+1,2840\bigr) \approx4,3129.

Passo 3

Aplicando a regra 1/3 de Simpson composta com n=4:
Usamos os mesmos nós e valores f_i. A fórmula de Simpson composta é
S=\frac{h}{3}\bigl(f_0+4(f_1+f_3)+2f_2+f_4\bigr) =\frac{\pi/6}{3}\bigl(1,2840+4\cdot4,2340+2\cdot2,7183+1,2840\bigr) \approx4,3524.

Passo 4

Aplicando a quadratura de Gauss–Legendre de 2 pontos no intervalo \bigl[-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\bigr]:
Os nós padrão em [-1,1] são x=\pm1/\sqrt3 com pesos w_1=w_2=1. Mapeando para t\in[a,b] com
t=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}x,
temos a=-\tfrac{\pi}{3}, b=\tfrac{\pi}{3}, logo
t_{1,2}=\pm\frac{\pi}{3\sqrt3},\quad \frac{b-a}{2}=\frac{\pi/3-(-\pi/3)}{2}=\frac{\pi}{3}.
A aproximação é
G=\frac{b-a}{2}\bigl[f(t_1)+f(t_2)\bigr] =\frac{\pi}{3}\bigl(2\,e^{\cos^2(\tfrac{\pi}{3\sqrt3})}\bigr) \approx\frac{\pi}{3}\cdot2\cdot1,9776 \approx4,1420.

Resposta

(a) T\approx4,3129
(b) S\approx4,3524
(c) G\approx4,1420

Exercícios relacionados