Questão 2: (2.0) Dê uma aproximação para a solução do Problema de Valor Inicial através do Método de Euler.
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime}=-1,2 y+7 e^{-0,3 t} \\\ y(0)=3 \end{array}\right.
\begin{aligned} & h=0,2 \\\ & t \in[0 ; 0,4] \end{aligned}

Passo 1

O problema nos dá o PVI
\begin{cases} y' = -1{,}2\,y + 7\,e^{-0{,}3\,t},\\\ y(0)=3 \end{cases}
e pede uma aproximação em t\in[0,0{,}4] pelo Método de Euler com passo h=0{,}2. No Método de Euler usamos a fórmula
y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n,y_n),
onde f(t,y) = -1{,}2\,y + 7\,e^{-0{,}3\,t}. Tomamos t_0=0 e y_0=3.

Passo 2

Calculamos primeiro y_1.
Em t_0=0 e y_0=3,
f(t_0,y_0) = -1{,}2\cdot3 + 7\,e^{-0{,}3\cdot0} = -3{,}6 + 7\cdot1 = 3{,}4.
Logo
y_1 = y_0 + h\,f(t_0,y_0) = 3 + 0{,}2 \cdot 3{,}4 = 3{,}68.

Passo 3

Agora em t_1=0{,}2 e y_1=3{,}68,
f(t_1,y_1) = -1{,}2\cdot3{,}68 + 7\,e^{-0{,}3\cdot0{,}2} = -4{,}416 + 7\,e^{-0{,}06}.
Como e^{-0{,}06}\approx0{,}94176,
f(t_1,y_1)\approx -4{,}416 + 7\cdot0{,}94176 \approx 2{,}1764.
Portanto
y_2 = y_1 + h\,f(t_1,y_1) \approx 3{,}68 + 0{,}2\cdot2{,}1764 \approx 4{,}1153.

Resposta

Em t=0, y_0=3{,}0000;
em t=0{,}2, y_1\approx3{,}6800;
em t=0{,}4, y_2\approx4{,}1153.

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