Em cada item abaixo, analise se o sistema 2 \times 2 tem ou não solu(ção)ções e interprete o resultado geometricamente.
\begin{aligned} x+2 y & =3 \\\ x-y & =0 \\\ x+2 y & =3 \\\\ 2 x+4 y & =6 \\\ x+2 y & =0 \\\\ 2 x+4 y & =0 \\\\ 2 x+y & =-1 \\\\ 4 x+2 y & =-2 \\\ x-3 y & =5 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado apresenta quatro sistemas lineares 2\times2 (mais um enunciado incompleto no final) e pede para decidir se cada um tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma, e interpretar geometricamente. Cada sistema é da forma
\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1,\\\ a_2x + b_2y = c_2, \end{cases}
e vamos usar a teoria de determinante e posto de matriz para resolvê-los.

Passo 2

Critério geral para o sistema
\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1,\\\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}
é calcular o determinante
\Delta = a_1b_2 - a_2b_1.
Se \Delta \neq 0, há solução única
\displaystyle x = \frac{c_1b_2 - c_2b_1}{\Delta},
\displaystyle y = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{\Delta}. Geometricamente, as retas têm coeficientes angulares diferentes e se cruzam num ponto.
Se \Delta = 0, as retas são paralelas ou coincidentes. Comparamos então as razões
\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}.
– Se todas iguais, há infinitas soluções (mesma reta).
– Se \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\neq \frac{c_1}{c_2}, não há soluções (retas paralelas distintas).

Passo 3

Sistema 1:
\begin{cases} x + 2y = 3,\\\ x - y = 0. \end{cases}
Aqui
\Delta = 1\cdot(-1) - 1\cdot2 = -1 - 2 = -3 \neq 0,
logo há solução única. Resolvendo, da segunda equação x=y. Substituindo em x+2y=3 3y=3, y=1, x=1. Geometricamente, duas retas com inclinações diferentes se cruzam em (1,1).

Passo 4

Sistema 2:
\begin{cases} x + 2y = 3,\\\\ 2x + 4y = 6. \end{cases}
Calculamos
\Delta = 1\cdot4 - 2\cdot2 = 4 - 4 = 0.
Como (2x+4y=6) é exatamente 2 vezes (x+2y=3), temos
\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{2}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \frac{c_1}{c_2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}. Todas as razões iguais, logo infinitas soluções. Geometricamente, as duas equações representam a mesma reta.

Passo 5

Sistema 3:
\begin{cases} x + 2y = 0,\\\\ 2x + 4y = 0. \end{cases}
Temos de novo
\Delta = 1\cdot4 - 2\cdot2 = 0,
e (2x+4y=0) é 2 vezes (x+2y=0), com \frac{0}{0}= \frac{0}{0}. Todas as razões são iguais, logo infinitas soluções (mesma reta).

Passo 6

Sistema 4:
\begin{cases} 2x + y = -1,\\\\ 4x + 2y = -2. \end{cases}
Aqui
\Delta = 2\cdot2 - 4\cdot1 = 4 - 4 = 0,
e a segunda equação é 2 vezes a primeira, pois 2(-1)=-2. Logo todas as razões coincidem e há infinitas soluções (as retas coincidem).

Passo 7

O enunciado final apresenta apenas
x - 3y = 5
sem a segunda equação necessária para um sistema 2\times2. Portanto não há como analisar esse último item.

Resposta

Sistema 1: solução única (x,y)=(1,1).
Sistema 2: infinitas soluções (mesma reta).
Sistema 3: infinitas soluções (mesma reta).
Sistema 4: infinitas soluções (mesma reta).
Sistema 5: impossível de analisar por faltar uma equação.

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