f(x)= \begin{cases}x^{2}, & \text { se } 0 \leq x \leq 1, \\\ (x+2)^{3}, & \text { se } 1<x \leq 2,\end{cases}
(a) Use a regra do trapézio, com n=4 subintervalos, para integrar f(x).
(b) Determine o valor de h para a regra de Simpson, para que se tenha um erro inferior a 10^{-4}. Justifique a sua resposta.
e pede (a) a regra do trapézio com n=4 em [0,2], e (b) achar h na regra de Simpson de modo que o erro seja <10^{-4}. Para (a) precisamos de h=(2-0)/4=0{,}5, avaliar f nos pontos e aplicar a fórmula do trapézio composto. Para (b) usamos o cota de erro da regra de Simpson composta, que envolve a derivada de quarta ordem de f.
Precisamos achar f^{(4)}(x). Em 0\le x\le1, f(x)=x^2 implica f''(x)=2 e f^{(4)}(x)=0. Em 1<x\le2, f(x)=(x+2)^3 dá f''(x)=6(x+2), f^{(3)}(x)=6, f^{(4)}(x)=0.
Logo
\max_{[0,2]}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|=0,
e a cota de erro torna-se zero.
Passo 4
Como \max|f^{(4)}|=0, a regra de Simpson composta integra exatamente cada pedaço (grau \leq 3), de modo que
E_S=0<10^{-4}
para qualquerh que faça o método composto (basta que o nó em x=1 seja incluído, i.e., n par). Portanto não há restrição real sobre h. Por exemplo, escolhemos n=2, h=1, e temos erro zero.
Resposta
(a) 38{,}0625
(b) Como f^{(4)}(x)=0 em todo o intervalo, a regra de Simpson composta é exata e satisfaz erro <10^{-4} para qualquerh (desde que n seja par). Por exemplo, h=1 funciona.