[6] Considere a função:
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & \text { se } 0 \leq x \leq 1, \\\ (x+2)^{3}, & \text { se } 1<x \leq 2,\end{cases}
(a) Use a regra do trapézio, com n=4 subintervalos, para integrar f(x).
(b) Determine o valor de h para a regra de Simpson, para que se tenha um erro inferior a 10^{-4}. Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} x^{2}, & 0\le x\le1,\\\ (x+2)^{3}, & 1<x\le2 \end{cases}
e pede (a) a regra do trapézio com n=4 em [0,2], e (b) achar h na regra de Simpson de modo que o erro seja <10^{-4}. Para (a) precisamos de h=(2-0)/4=0{,}5, avaliar f nos pontos e aplicar a fórmula do trapézio composto. Para (b) usamos o cota de erro da regra de Simpson composta, que envolve a derivada de quarta ordem de f.

Passo 2

Calculamos h e os nós:
h=\frac{2-0}{4}=0{,}5,\quad x_0=0,\;x_1=0{,}5,\;x_2=1,\;x_3=1{,}5,\;x_4=2.
Em cada nó:
f(0)=0^2=0,\quad f(0{,}5)=(0{,}5)^2=0{,}25,\quad f(1)=1^2=1,
f(1{,}5)=(1{,}5+2)^3=3{,}5^3=42{,}875,\quad f(2)=(2+2)^3=4^3=64.
A regra do trapézio composto é
\int_{0}^{2}f(x)\,dx\approx \frac{h}{2}\Bigl[f_0+2(f_1+f_2+f_3)+f_4\Bigr] =\frac{0{,}5}{2}\bigl[0+2(0{,}25+1+42{,}875)+64\bigr].
Dentro do colchete soma-se 0{,}25+1+42{,}875=44{,}125, vezes 2 88{,}25, mais 64 é 152{,}25. Logo
\int_{0}^{2}f(x)\,dx\approx 0{,}25\times152{,}25=38{,}0625.

Passo 3

Para a regra de Simpson composta em [0,2] com passo \,h, a cota de erro é
\bigl|E_S\bigr|\le \frac{(b-a)}{180}\,h^{4}\,\max_{[0,2]}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|.
Precisamos achar f^{(4)}(x). Em 0\le x\le1, f(x)=x^2 implica f''(x)=2 e f^{(4)}(x)=0. Em 1<x\le2, f(x)=(x+2)^3 f''(x)=6(x+2), f^{(3)}(x)=6, f^{(4)}(x)=0.
Logo
\max_{[0,2]}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|=0,
e a cota de erro torna-se zero.

Passo 4

Como \max|f^{(4)}|=0, a regra de Simpson composta integra exatamente cada pedaço (grau \leq 3), de modo que
E_S=0<10^{-4}
para qualquer h que faça o método composto (basta que o nó em x=1 seja incluído, i.e., n par). Portanto não há restrição real sobre h. Por exemplo, escolhemos n=2, h=1, e temos erro zero.

Resposta

(a) 38{,}0625
(b) Como f^{(4)}(x)=0 em todo o intervalo, a regra de Simpson composta é exata e satisfaz erro <10^{-4} para qualquer h (desde que n seja par). Por exemplo, h=1 funciona.

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