[2.5 pontos] Considere a função
a) Mostre que existe uma raiz no intervalo
b) Determine o número mínimo de iterações necessárias para garantir que o erro absoluto seja menor que
.
c) Mostre que o método da bisseção possui convergência linear e determine a constante de convergência.
a) Mostre que existe uma raiz no intervalo
b) Determine o número mínimo de iterações necessárias para garantir que o erro absoluto seja menor que
c) Mostre que o método da bisseção possui convergência linear e determine a constante de convergência.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) Mostrar que existe pelo menos uma raiz de
no intervalo . - (b) Determinar o número mínimo de iterações do método da bisseção necessário para garantir erro absoluto menor que
. - (c) Mostrar que o método da bisseção tem convergência linear e determinar a constante de convergência.
Informações relevantes fornecidas / que podemos usar sem provar aqui:
- A função
está bem definida para todo . - A exponencial e a função identidade são contínuas, logo
é contínua em .
Passo 2
Prova da existência de raiz em
(questão (a)) usando o Teorema do Valor Intermediário.
- Avaliar
nas extremidades do intervalo:
- Como
é contínua em e assume sinais opostos em e , o Teorema do Valor Intermediário garante que existe tal que
Portanto existe pelo menos uma raiz de
em
.
Passo 3
Descrição e fórmula do erro no método da bisseção (preparando a resposta para (b)).
- Recordando o método: iniciando com intervalo
, a cada iteração a bisseção divide o intervalo atual ao meio e escolhe o subintervalo onde ocorre a troca de sinal. Após iterações o comprimento do intervalo que contém a raiz é
- Se usamos o ponto médio do intervalo como aproximação
da raiz , então a distância máxima entre e (erro absoluto) é a metade do comprimento do intervalo atual. Assim o erro satisfaça
Esta é a fórmula que vamos usar para garantir um erro menor que uma tolerância dada.
Passo 4
Cálculo do número mínimo de iterações necessário para
(questão (b)).
- Aplicando a fórmula do passo anterior com
, (logo ), exigimos
- Tomando logaritmo em base
(ou em qualquer base) obtemos
- Converter para logaritmo natural ou decimal para calcular numericamente:
- Portanto
como
deve ser inteiro, o menor
que satisfaz a desigualdade original é
.
- Verificação numérica rápida: para
temos
enquanto para
teríamos
. Logo
é o mínimo.
Passo 5
Convergência linear do método da bisseção e constante de convergência (questão (c)).
- Definição prática de convergência linear: uma sequência de erros
converge linearmente para se existe e tais que, para suficientemente grande,
O número
é a constante de convergência (taxa).
- Para a bisseção, usando a estimativa do passo 3, temos para todo
Assim
- Portanto o erro é contraído por um fator no máximo
a cada iteração; isto mostra convergência linear com constante de convergência
Observação intuitiva: a cada iteração o comprimento do intervalo que contém a raiz é dividido por
, e como usamos o ponto médio, o erro máxima é reduzido (no pior caso) pela metade.
Resposta
(a) Existe pelo Teorema do Valor Intermediário, pois
e
.
(b) iterações mínimas.
(c) Convergência linear com constante de convergência .
(b)
(c) Convergência linear com constante de convergência