[2.5 pontos] Considere a função f(x)=e^{-x}-x
a) Mostre que existe uma raiz no intervalo [0,1]
b) Determine o número mínimo de iterações necessárias para garantir que o erro absoluto seja menor que 10^{-6}.
c) Mostre que o método da bisseção possui convergência linear e determine a constante de convergência.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{-x}-x e pede três coisas:
  • (a) Mostrar que existe pelo menos uma raiz de f no intervalo [0,1].
  • (b) Determinar o número mínimo de iterações do método da bisseção necessário para garantir erro absoluto menor que 10^{-6}.
  • (c) Mostrar que o método da bisseção tem convergência linear e determinar a constante de convergência.
Informações relevantes fornecidas / que podemos usar sem provar aqui:
  • A função f está bem definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • A exponencial e a função identidade são contínuas, logo f é contínua em [0,1].

Passo 2

Prova da existência de raiz em [0,1] (questão (a)) usando o Teorema do Valor Intermediário.
  1. Avaliar f nas extremidades do intervalo:
f(0)=e^{0}-0=1>0,
f(1)=e^{-1}-1=\frac{1}{e}-1<0\quad(\text{pois }\tfrac{1}{e}\approx0{,}3679<1).
  1. Como f é contínua em [0,1] e assume sinais opostos em 0 e 1, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe c\in(0,1) tal que
f\text{(c)}=0.
Portanto existe pelo menos uma raiz de f em [0,1].

Passo 3

Descrição e fórmula do erro no método da bisseção (preparando a resposta para (b)).
  1. Recordando o método: iniciando com intervalo [a,b]=[0,1], a cada iteração a bisseção divide o intervalo atual ao meio e escolhe o subintervalo onde ocorre a troca de sinal. Após n iterações o comprimento do intervalo que contém a raiz é
\frac{b-a}{2^{n}}.
  1. Se usamos o ponto médio do intervalo como aproximação x_n da raiz r, então a distância máxima entre x_n e r (erro absoluto) é a metade do comprimento do intervalo atual. Assim o erro satisfaça
|x_n-r|\le \frac{b-a}{2^{n+1}}.
Esta é a fórmula que vamos usar para garantir um erro menor que uma tolerância dada.

Passo 4

Cálculo do número mínimo de iterações necessário para |x_n-r|<10^{-6} (questão (b)).
  1. Aplicando a fórmula do passo anterior com a=0, b=1 (logo b-a=1), exigimos
\frac{1}{2^{n+1}}\le 10^{-6}.
  1. Tomando logaritmo em base 2 (ou em qualquer base) obtemos
2^{n+1}\ge 10^{6}\quad\Longleftrightarrow\quad n+1\ge \log_{2}(10^{6}).
  1. Converter para logaritmo natural ou decimal para calcular numericamente:
n+1\ge \frac{\ln(10^{6})}{\ln 2}=\frac{6\ln 10}{\ln 2}\approx 19{,}9315686\ldots
  1. Portanto
n\ge 19{,}9315686\ldots -1 = 18{,}9315686\ldots
como n deve ser inteiro, o menor n que satisfaz a desigualdade original é n=19.
  1. Verificação numérica rápida: para n=19 temos
|x_{19}-r|\le \frac{1}{2^{20}}=\frac{1}{1{,}048{,}576}\approx 9{,}536743\times10^{-7}<10^{-6},
enquanto para n=18 teríamos \dfrac{1}{2^{19}}\approx1{,}9073486\times10^{-6}>10^{-6}. Logo n=19 é o mínimo.

Passo 5

Convergência linear do método da bisseção e constante de convergência (questão (c)).
  1. Definição prática de convergência linear: uma sequência de erros (e_n) converge linearmente para 0 se existe q\in(0,1) e C>0 tais que, para n suficientemente grande,
e_{n+1}\le q\,e_n.
O número q é a constante de convergência (taxa).
  1. Para a bisseção, usando a estimativa do passo 3, temos para todo n
e_n:=|x_n-r|\le \frac{b-a}{2^{n+1}}.
Assim
e_{n+1}\le \frac{b-a}{2^{n+2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{b-a}{2^{n+1}}\le \frac{1}{2}e_n.
  1. Portanto o erro é contraído por um fator no máximo 1/2 a cada iteração; isto mostra convergência linear com constante de convergência
q=\tfrac{1}{2}.
Observação intuitiva: a cada iteração o comprimento do intervalo que contém a raiz é dividido por 2, e como usamos o ponto médio, o erro máxima é reduzido (no pior caso) pela metade.

Resposta

(a) Existe pelo Teorema do Valor Intermediário, pois f(0)=1>0 e f(1)=e^{-1}-1<0.
(b) 19 iterações mínimas.
(c) Convergência linear com constante de convergência q=\tfrac{1}{2}.

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