[2.5 pontos] Considere o sistema de ponto flutuante: F(10,4,-5,5) \mathrm{com} arredondamento. Sejam x=1234.6, y=1234.2. Defina z=(x-y) / y
a) Escreva x e y no sistema de máquina
b) Calcule z usando aritmética da máquina.
c) Determine o erro relativo do valor aproximado de z e diga quantos algarismos significativos corretos possui o resultado.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema de ponto flutuante \,F(10,4,-5,5) com arredondamento e os números reais
x = 1234{,}6,\qquad y = 1234{,}2.
Pede-se:
a) escrever x e y na forma de máquina (mantissa com 4 dígitos base 10, expoente entre -5 e 5, com arredondamento);
b) calcular z=(x-y)/y usando a aritmética da máquina (isto é, aplicar arredondamento nas operações conforme o sistema);
c) determinar o erro relativo entre o valor aproximado obtido na máquina e o valor exato de z, e dizer quantos algarismos significativos corretos o resultado possui.
Informações relevantes dadas:
Base =10.
Precisão da mantissa t=4 dígitos significativos.
Arredondamento ao mais próximo representável.
Expoente permitido inclui 3, então os números 1{,}23\times10^3 são representáveis.
Passo 2
Rápida explicação de como representar e operar na máquina (passo-a-passo didático, sem pular etapas).
Qualquer número normalizado na máquina tem a forma
\pm d_0.d_1d_2d_3\times10^{e},
onde d_0\in\{1,2,\dots,9\} e cada d_i é um dígito decimal, e exatamente t=4 dígitos significativos são guardados (d_0d_1d_2d_3).
Arredondamento: para reduzir mais dígitos ao comprimento t, olhamos o (t+1)-ésimo dígito; se ele \ge5 aumentamos o último dígito guardado, senão deixamos igual.
Aritmética da máquina: cada operação (adição, subtração, multiplicação, divisão) produz um resultado real que em seguida é arredondado à forma acima. Portanto devemos arredondar o resultado de cada operação antes de usá-lo na próxima.
Passo 3
Escrever x e y no formato cient��fico antes do arredondamento e então aplicar o arredondamento a 4 dígitos.
Para x=1234{,}6 temos a forma exata
x = 1{,}2346\times10^{3}.
Temos 5 dígitos significativos 1,2,3,4,6. Mantemos os primeiros 4 dígitos 1,2,3,4 e olhamos o 5.º dígito que é 6 (maior que 5), então arredondamos o quarto dígito para cima:
x_{\text{máq}} = 1{,}235\times10^{3}.
Observação: em decimal isso é 1{,}235\times10^{3}=1235{,}0.
Para y=1234{,}2 temos
y = 1{,}2342\times10^{3}.
Os dígitos são 1,2,3,4,2. Mantemos os primeiros 4 dígitos 1,2,3,4 e o 5.º dígito é 2<5, logo NÃO arredondamos:
y_{\text{máq}} = 1{,}234\times10^{3}.
Em decimal isso é 1{,}234\times10^{3}=1234{,}0.
Passo 4
Calcular a subtração na máquina: x_{\text{máq}} - y_{\text{máq}}.
A diferença dos mantissas é 1{,}235-1{,}234=0{,}001. Assim o resultado exato desta subtração (antes do re-normalizar/arredondar) é
0{,}001\times10^{3}=1{,}0\times10^{0}.
Normalizando para ter a mantissa com um dígito antes da vírgula: 1{,}0\times10^{0} já está normalizado. Precisamos ter 4 dígitos significativos, então representamos como
(x-y)_{\text{máq}} = 1{,}000\times10^{0}.
(ou seja, o numerador na máquina é 1{,}000.)
Comentário didático: observe que a subtração de dois números próximos causou cancelamento de dígitos significativos — o valor exato x-y deveria ser 0{,}4, mas devido ao arredondamento prévio de x e y a diferença na máquina ficou igual a 1{,}0. Isso é um exemplo clássico de cancelamento catastrófico.
Passo 5
Agora calculamos z na máquina seguindo a aritmética da máquina:
Agora cortamos/arrendondamos para 4 dígitos significativos: os primeiros quatro dígitos da mantissa são 8,1,0,3 e o quinto dígito é 7\ge5, logo arredondamos o quarto dígito 3 para 4. Assim
z_{\text{máq}} = 8{,}104\times10^{-4}.
Em decimal isso é z_{\text{máq}} = 0{,}0008104.
Passo 6
Calcular o valor exato (real) de z usando os valores originais sem arredondamento:
z = \frac{x-y}{y}=\frac{1234{,}6-1234{,}2}{1234{,}2}=\frac{0{,}4}{1234{,}2}.
Escrevendo como fração inteira:
z = \frac{0{,}4}{1234{,}2}=\frac{4}{12342}.
Fazendo a divisão longa ou aproximação com boa precisão obtemos
z \approx 0{,}0003240965806\ldots
(uma verificação rápida por multiplicação: 12342\times0{,}0003240965806\approx4{,}0, confirmando a consistência.)
Passo 7
Erro absoluto e erro relativo, e número de algarismos significativos.
Como \text{erro relativo}\approx1{,}5005>1, tem-se -\log_{10}(\text{erro relativo})<0 e, portanto, k=\lfloor\cdot\rfloor\le0. Na prática isto significa que NÃO há algarismos significativos corretos no resultado (ou seja, 0 algarismos significativos confiáveis). Intuitivamente checamos os dígitos: z\approx0{,}0003241 enquanto z_{\text{máq}}=0{,}0008104á — os primeiros dígitos significativos diferem.
Comentário de interpretação: a grande perda de precisão vem do cancelamento na subtração x-y depois do arredondamento inicial de x e y. Mesmo que x e y diferissem em 0{,}4 na realidade, o arredondamento fez com que suas versões de máquina fossem 1235 e 1234, cuja diferença é 1, causando um erro grande em z.
Resposta
a) x_{\text{máq}} = 1{,}235\times10^{3},\qquad y_{\text{máq}} = 1{,}234\times10^{3}.áá
b) z_{\text{máq}} = 8{,}104\times10^{-4}á (ou 0{,}0008104).
c) Erro relativo \approx 1{,}50049 (≈ 150{,}05\%); número de algarismos significativos corretos = 0.