[2.5 pontos] Considere o sistema de ponto flutuante: F(10,4,-5,5) \mathrm{com} arredondamento. Sejam x=1234.6, y=1234.2. Defina z=(x-y) / y
a) Escreva x e y no sistema de máquina
b) Calcule z usando aritmética da máquina.
c) Determine o erro relativo do valor aproximado de z e diga quantos algarismos significativos corretos possui o resultado.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de ponto flutuante \,F(10,4,-5,5) com arredondamento e os números reais
x = 1234{,}6,\qquad y = 1234{,}2.
Pede-se:
a) escrever x e y na forma de máquina (mantissa com 4 dígitos base 10, expoente entre -5 e 5, com arredondamento);
b) calcular z=(x-y)/y usando a aritmética da máquina (isto é, aplicar arredondamento nas operações conforme o sistema);
c) determinar o erro relativo entre o valor aproximado obtido na máquina e o valor exato de z, e dizer quantos algarismos significativos corretos o resultado possui.
Informações relevantes dadas:
  • Base =10.
  • Precisão da mantissa t=4 dígitos significativos.
  • Arredondamento ao mais próximo representável.
  • Expoente permitido inclui 3, então os números 1{,}23\times10^3 são representáveis.

Passo 2

Rápida explicação de como representar e operar na máquina (passo-a-passo didático, sem pular etapas).
  • Qualquer número normalizado na máquina tem a forma
\pm d_0.d_1d_2d_3\times10^{e},
onde d_0\in\{1,2,\dots,9\} e cada d_i é um dígito decimal, e exatamente t=4 dígitos significativos são guardados ( d_0d_1d_2d_3).
  • Arredondamento: para reduzir mais dígitos ao comprimento t, olhamos o (t+1)-ésimo dígito; se ele \ge5 aumentamos o último dígito guardado, senão deixamos igual.
  • Aritmética da máquina: cada operação (adição, subtração, multiplicação, divisão) produz um resultado real que em seguida é arredondado à forma acima. Portanto devemos arredondar o resultado de cada operação antes de usá-lo na próxima.

Passo 3

Escrever x e y no formato cient��fico antes do arredondamento e então aplicar o arredondamento a 4 dígitos.
  • Para x=1234{,}6 temos a forma exata
x = 1{,}2346\times10^{3}.
Temos 5 dígitos significativos 1,2,3,4,6. Mantemos os primeiros 4 dígitos 1,2,3,4 e olhamos o 5.º dígito que é 6 (maior que 5), então arredondamos o quarto dígito para cima:
x_{\text{máq}} = 1{,}235\times10^{3}.á
Observação: em decimal isso é 1{,}235\times10^{3}=1235{,}0.
  • Para y=1234{,}2 temos
y = 1{,}2342\times10^{3}.
Os dígitos são 1,2,3,4,2. Mantemos os primeiros 4 dígitos 1,2,3,4 e o 5.º dígito é 2<5, logo NÃO arredondamos:
y_{\text{máq}} = 1{,}234\times10^{3}.á
Em decimal isso é 1{,}234\times10^{3}=1234{,}0.

Passo 4

Calcular a subtração na máquina: x_{\text{máq}} - y_{\text{máq}}áá.
  • Alinhando as potências de 10:
1{,}235\times10^{3} - 1{,}234\times10^{3} = (1{,}235-1{,}234)\times10^{3}.
  • A diferença dos mantissas é 1{,}235-1{,}234=0{,}001. Assim o resultado exato desta subtração (antes do re-normalizar/arredondar) é
0{,}001\times10^{3}=1{,}0\times10^{0}.
  • Normalizando para ter a mantissa com um dígito antes da vírgula: 1{,}0\times10^{0} já está normalizado. Precisamos ter 4 dígitos significativos, então representamos como
(x-y)_{\text{máq}} = 1{,}000\times10^{0}.á
(ou seja, o numerador na máquina é 1{,}000.)
Comentário didático: observe que a subtração de dois números próximos causou cancelamento de dígitos significativos — o valor exato x-y deveria ser 0{,}4, mas devido ao arredondamento prévio de x e y a diferença na máquina ficou igual a 1{,}0. Isso é um exemplo clássico de cancelamento catastrófico.

Passo 5

Agora calculamos z na máquina seguindo a aritmética da máquina:
z_{\text{máq}} = \frac{(x-y)_{\text{máq}}}{y_{\text{máq}}} = \frac{1{,}000\times10^{0}}{1{,}234\times10^{3}}.ááá
Separe a razão das mantissas e a diferença de expoentes:
\frac{1{,}000}{1{,}234}\times10^{-3}.
Calcule a divisão das mantissas com precisão suficiente para então arredondar a 4 dígitos:
  • Primeiro calcule \dfrac{1{,}000}{1{,}234}. Em notação decimal isso é aproximadamente
\frac{1{,}000}{1{,}234}\approx0{,}81037277\ldots
(isto pode ser obtido por divisão longa ou por aproximação; aqui guardamos várias casas para poder arredondar corretamente a 4 dígitos).
  • Multiplicando pelo fator 10^{-3} obtemos:
\frac{1{,}000}{1{,}234}\times10^{-3}\approx0{,}81037277\times10^{-3}.
Para normalizar a mantissa num único dígito antes da vírgula, escrevemos
0{,}81037277\times10^{-3}=8{,}1037277\times10^{-4}.
Agora cortamos/arrendondamos para 4 dígitos significativos: os primeiros quatro dígitos da mantissa são 8,1,0,3 e o quinto dígito é 7\ge5, logo arredondamos o quarto dígito 3 para 4. Assim
z_{\text{máq}} = 8{,}104\times10^{-4}.á
Em decimal isso é z_{\text{máq}} = 0{,}0008104á.

Passo 6

Calcular o valor exato (real) de z usando os valores originais sem arredondamento:
z = \frac{x-y}{y}=\frac{1234{,}6-1234{,}2}{1234{,}2}=\frac{0{,}4}{1234{,}2}.
Escrevendo como fração inteira:
z = \frac{0{,}4}{1234{,}2}=\frac{4}{12342}.
Fazendo a divisão longa ou aproximação com boa precisão obtemos
z \approx 0{,}0003240965806\ldots
(uma verificação rápida por multiplicação: 12342\times0{,}0003240965806\approx4{,}0, confirmando a consistência.)

Passo 7

Erro absoluto e erro relativo, e número de algarismos significativos.
  • Erro absoluto:
\left|z_{\text{máq}}-z\right| \approx \left|0{,}0008104 - 0{,}0003240965806\right| = 0{,}0004863034194\ldotsá
  • Erro relativo:
\text{erro relativo}=\frac{\left|z_{\text{máq}}-z\right|}{|z|} \approx\frac{0{,}0004863034194}{0{,}0003240965806}\approx 1{,}50049\ldotsá
Ou seja, o erro relativo é aproximadamente 1{,}5005 (isto é, cerca de 150{,}05\%).
  • Número de algarismos significativos corretos: uma medida usual é
k=\left\lfloor -\log_{10}(\text{erro relativo})\right\rfloor.
Como \text{erro relativo}\approx1{,}5005>1, tem-se -\log_{10}(\text{erro relativo})<0 e, portanto, k=\lfloor\cdot\rfloor\le0. Na prática isto significa que NÃO há algarismos significativos corretos no resultado (ou seja, 0 algarismos significativos confiáveis). Intuitivamente checamos os dígitos: z\approx0{,}0003241 enquanto z_{\text{máq}}=0{,}0008104á — os primeiros dígitos significativos diferem.
Comentário de interpretação: a grande perda de precisão vem do cancelamento na subtração x-y depois do arredondamento inicial de x e y. Mesmo que x e y diferissem em 0{,}4 na realidade, o arredondamento fez com que suas versões de máquina fossem 1235 e 1234, cuja diferença é 1, causando um erro grande em z.

Resposta

a) x_{\text{máq}} = 1{,}235\times10^{3},\qquad y_{\text{máq}} = 1{,}234\times10^{3}.áá
b) z_{\text{máq}} = 8{,}104\times10^{-4}á (ou 0{,}0008104).
c) Erro relativo \approx 1{,}50049 (≈ 150{,}05\%); número de algarismos significativos corretos = 0.

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